Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


13.1.2. Оптимальное действие в случаях, когда корректировки  содержат ошибки наблюдения

Уравнение (13.1.11) позволяет вычислить эффект добавочного шума в  в тех случаях, когда оптимальная схема такой шум не учитывает. Интересно получить также оптимальную схему для конкретного добавочного шума и увидеть, насколько она отличается от схемы, где такой шум не учтен. Рассмотрим опять пример из разд. 13.1.1.

Пусть фактически выполненное регулирующее действие равно

,

где , как и ранее, некоррелированы и имеют дисперсию , а шум  представим процессом . Необходимо выбрать  так, чтобы минимизировать .

Рассмотрим, как и ранее, точку  в петле обратной связи. Здесь

или

,

и, следовательно,

.                 (13.1.14)

Правая часть уравнения (13.1.14) описывает процесс скользящего среднего второго порядка с добавочным белым шумом и, следовательно, может (разд. П4.4.1) быть представлена другим процессом скользящего среднего второго порядка:

,

где  – белый шум. Следовательно, задача сводится к выбору такого оператора , чтобы минимизировалась , где

.

Можно записать это равенство в виде

,

так что

,

и  минимально, только если ; это приводит к

,                (13.1.15)

или к

.

Следовательно, оптимальная корректировка равна

.                       (13.1.16)

Подставляя (13.1.15) в (13.1.14), получаем

,

откуда  и  находятся приравниванием ковариации при задержках 0, 1, 2.

Обозначив , получаем

                  (13.1.17)

Оптимальная упрощенная схема регулирования. Рассмотрим опять в качестве примера упрощенную диаграмму на рис. 12.8,б. Делая те же приближения, что и ранее, рассмотрим, что дала бы такая схема, если учесть дополнительные ошибки округления.

Пусть, как и в предшествующем обсуждении в конце разд. 13.1.1, , , ,  и, следовательно,

.

Тогда, пользуясь (13.1.17), получаем

, ,

.

Отсюда

, , .

Подставляя эти значения в (13.1.16), находим оптимальную корректировку

с . Можно сравнить эту схему с фактически использованной схемой

и , которая является оптимальной в предположении об отсутствии дополнительных ошибок. Ясно, что в этом случае добавочный шум незначительно повлиял на выбор оптимального уравнения регулирования.

Изменения оптимальной корректировки, вызванные шумом на входе. Если, как и ранее, принять

,

то из уравнения (13.1.17) получаем

,                 (13.1.18а)

,            (13.1.18б)

,                (13.1.18в)

где, как и прежде, . На практике, чтобы связать  с , проще всего выразить решение (13.1.18в) через  для ряда нужным образом заданных  и затем найти соответствующие значения  и , подставив результаты в (13.1.18а) и (13.1.18б).

В этом примере умеренный добавочный шум, вызванный сильным округлением, не привел к значительному увеличению , и оптимальная схема, учитывающая этот шум, не привела к заметным улучшениям по сравнению со схемой, игнорирующей шум. Такое заключение справедливо (при умеренном шуме) для широкого диапазона параметров. Однако оно становится неверным, когда  приближается к 1 (система имеет постоянную времени, существенно превышающую интервал выборки) и при наличии в петле обратной связи очень сильной компоненты добавочного шума. Чтобы получить представление об этих случаях, рассмотрим несколько примеров. В каждом случае примем , , так что . Это соответствует добавочному шуму  со стандартным отклонением , таким же, как у ошибок округления, в случае, когда интервал округления равен . Здесь  – стандартное отклонение , когда шум отсутствует.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: , , .

Случай 2: , , .

Оптимальные схемы регулирования, соответствующие этим параметрам, приведены в табл. 13.1.

Таблица 13.1. Поведение конкретных схем регулирования в случае добавочного шума на входе

Случай 1: , ,

 

Уравнение регулирования для корректировки

Дисперсия на выходе

Оптимальная схема без учета добавочного шума

Действие схемы, не учитывающей шум, при наличии на входе шума с

Как и ранее

Оптимальная схема с учетом добавочного шума

Случай 2: , ,

 

Уравнение регулирования для корректировки

Дисперсия на выходе

Оптимальная схема без учета добавочного шума

Действие схемы, не учитывающей шум, при наличии шума на входе с

Как и ранее

Оптимальная схема с учетом добавочного шума

Чтобы лучше понять табл. 13.1, заметим, что если записать уравнение регулирования не для корректировки , а для уровня , на котором поддерживается регулируемая переменная между моментами времени  и , то все схемы табл. 13.1 примут вид

,

что означает необходимость пропорционально-интегрального регулирования.

Корректирующее действие будет иметь вид

.                      (13.1.19)

Из таблицы видно, что при  (постоянная времени системы не слишком велика по сравнению с интервалом отсчета) отношение пропорционального регулирования к интегральному , и введение шума не изменяет характера оптимального регулирования. Однако при  (постоянная времени системы очень велика по сравнению с интервалом отсчета) отношение пропорционального регулирования к интегральному велико . Оптимальная схема реагирует на добавочный шум увеличением  и резким уменьшением отношения . Чтобы измерить эффективность оптимальной схемы, не учитывающей шум, в ситуации, когда шум имеется, можно использовать отношение

.

Для рассмотренных выше схем

 для ,

 для .

Рис. 13.2,а и б иллюстрирует изменения коэффициента эффективности  и значений  и  по мере увеличения шума в петле для двух ранее рассмотренных случаев  и . При рассмотрении рисунка нужно помнить следующее:

1. При применении регулирования в промышленных задачах даже 10%-ная ошибка на входе весьма маловероятна; в диапазоне  даже при  эффективность схемы, не учитывающей шум, вполне удовлетворительна.

2. Если параметры оцениваются по данным, получаемым в процессе производства, добавочный шум уже будет учтен основной схемой.

149.jpg

Рис. 13.2. Характеристики схем регулирования при различных пропорциях добавочного шума на входе.

Тем не менее, если параметры не оценивать таким способом и если на входе существует сильный добавочный шум, не учтенный при проектировании схемы, регулирование будет неэффективным.

В этих примерах оптимальные схемы, учитывающие добавочный шум, в большей степени основаны на интегральном действии и в меньшей степени на пропорциональном.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>