13.1.1. Эффект пренебрежения добавочным шумом; упрощенные схемы

Рассмотрим регулирующую петлю обратной связи на рис. 13.1, в которой шум, фактически возникающий в точке , обозначен  и . Если  – единственная шумовая компонента, то, как было показано в разд. 12.2.1, оптимальное регулирующее действие определяется уравнением регулирования

,                  (13.1.1)

где

, , .

Предположим теперь, что существует добавочный шум , который изменяет сигнал ошибок  на . Тогда фактически выполняемое действие будет иметь вид

,                   (13.1.2)

так что корректировка равна

.

Тогда в точке  на рис. 13.1

,

или

.             (13.1.3)

Однако, пользуясь результатами разд. 12.2.1, имеем

и

.

Отсюда

.                      (13.1.4)

Складывая (13.1.3) и (13.1.4), получаем

.                   (13.1.5)

Далее, поскольку

,                  (13.1.6)

подстановка (13.1.4) в (13.1.6) дает

.

Отсюда следует, что (13.1.5) можно записать в виде

,

так что

.             (13.1.7)

Заметим, что

статистически не коррелированно с  при условии, что взаимные ковариации  равны нулю при . В дальнейшем будем предполагать это условие выполненным.

Если добавочный шум  может быть представлен случайным процессом

,

где  – белый шум, то (13.1.7) переходит в

,                (13.1.8)

и если , то  – стационарный процесс. Дисперсия выхода  может быть вычислена для произвольных параметрических моделей шума в точке , добавочного шума в системе и передаточной функции.

Ошибки в . Если мы предположим, что игнорируемая ошибка возникает при корректировке  можно записать уравнение регулирования в виде

,

где

.

Уравнение (13.1.7) принимает вид

,                     (13.1.9)

и если ошибки  подчиняются случайному процессу

,                    (13.1.10)

то, подставив (13.1.10) в (13.1.9) и учтя, что , получим

.                        (13.1.11)

При условии, что ,  будет стационарным процессом, и можно рассчитать его дисперсию для любых значений параметров.

Пренебрежение наблюдательными ошибками  для простой схемы регулирования. В качестве примера исследуем теперь эффект пренебрежения наблюдательными ошибками  для важной, но довольно простой схемы регулирования такого типа, как рассмотренная в разд. 12.2. Шум и передаточная функция определены соответственно как

и

,

и оптимальная регулирующая корректировка (12.2.8) в предположении об отсутствии ошибок в контуре имеет вид

,

где . Предположим, что фактическая корректировка равна

,

где ошибки корректировки  не коррелированны и имеют дисперсию . Тогда , , , , , , , . Подставляя эти значения в (13.1.11), получаем

,

.

Для упрощения сравнения представим  в виде произведения , где  – стандартное отклонение величины  в отсутствие шума. Тогда

.                       (13.1.12)

Наконец, если дисперсия добавочного шума  увеличивает дисперсию до , дисперсия отклонения выхода от номинала увеличивается в соответствии с формулой

.                (13.1.13)

Ошибки округления при корректировании. В частности, (13.1.13) позволяет приближенно оценить эффект «округления» корректировок  способами, подобными показанным на диаграмме рис. 12.8,б. Пусть интервал округления равен . Весьма приближенно эффект округления представим в виде добавления к  ошибки , равномерно распределенной в интервале . Далее, хотя  могут быть автокоррелированы, в большинстве практических случаев автокорреляция невелика, и можно предполагать ее отсутствие. В этих предположениях

,

что приводит к ранее упоминавшейся формуле (12.2.12). Отсюда для диаграммы рис. 12.8,б , , , так что

,

.