13.3.2. Влияние интервала отсчета на процесс ПСС(0,1,1)

Пусть наблюдения процесса делаются через «единичный» интервал и исследуется модель шума

с дисперсией , где индекс 1 применяется для обозначения используемого интервала отсчета. Тогда автоковариации разностей будут равны

(13.3.2)

Обозначив , получим

т. е. при данных и параметр процесса может быть получен решением квадратного уравнения

Используется корень уравнения, лежащий в интервале . Отметим, что

. (13.3.3)

Пусть теперь процесс наблюдается с шагом в единиц (где положительное целое), и результирующий процесс обозначим . Тогда

и т. д. Автоковариации разностей имеют вид

(13.3.4)

Отсюда следует, что – также процесс :

где – белый шум с дисперсией . Имеем

так что

. (13.3.5)

Далее, так как , имеем

. (13.3.6)

Следовательно, показано, что при отсчете процесса с шагом получается другой процесс .

Из (13.3.5) можно получить значение параметра для этого процесса, а из (13.3.6) – дисперсию этого процесса, выраженные через параметры и исходного процесса.

На рис. 13.6 дан график как функции и приведена шкала . График позволяет найти эффект увеличения интервала отсчета данного процесса в любое целое число раз. Пусть, например, мы имеем процесс с параметрами и . Используем график, чтобы найти значения соответствующих параметров , , , , в случаях, когда интервал отсчета а) удвоен, б) учетверен. Отмечая на краю вспомогательного листка бумаги точки , , со шкалы графика, положим лист так, чтобы этот край был параллелен оси и точка совпадала с точкой кривой для . Ординаты кривой, соответствующие и , будут равны и . Находим

Рис. 13.6. Изменение интервала отсчета процесса . Параметр для функции .

Из (13.3.6) следует, что дисперсии обычно пропорциональны ,

т.е.

Положим, что для первоначальной схемы с единичным интервалом динамическая константа равна (индекс 1 опять обозначает интервал отсчета). Тогда, поскольку в реальном времени та же фиксированная постоянная времени описывает все схемы, имеем

Схема, дающая минимальную среднеквадратичную ошибку для конкретного интервала отсчета , будет

или

. (13.3.7)

Пусть, например, , как и ранее, и ; тогда ; . Получаем оптимальные схемы

Как и следовало ожидать, при увеличении интервала отсчета и уменьшении роли динамики системы вклад интегрального регулирования увеличивается и отношение пропорционального регулирования к интегральному заметно уменьшается. Ранее отмечалось, что в некоторых случаях излишне большая дисперсия корректировок может быть неприемлемой. Индикатором этого свойства схем являются значения . Меньшее значение само по себе не оправдывает, конечно, выбор . Применение схемы регулирования с ограничением (подобно описанной в разд. 13.2) с дало бы резкое уменьшение с незначительным увеличением дисперсии выхода. Например, из табл. 13.3 для мы находим, что при 5%-ном увеличении дисперсии выхода до значения дисперсию входа схемы с можно уменьшить до 22% от ее значения без ограничений, так что . Из (13.2.28) получаем, что при схема с ограничением имеет вид

На практике можно указать ряд альтернативных схем с их характеристиками и выбрать конкретную схему для данной проблемы с позиции экономичности.

В общем увеличение дисперсии выхода, вызываемое увеличением интервала отсчета, может быть скомпенсировано экономическим выигрышем, например менее частыми наблюдениями.