Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


13.3.2. Влияние интервала отсчета на процесс ПСС(0,1,1)

Пусть наблюдения процесса делаются через «единичный» интервал и исследуется модель шума

с дисперсией , где индекс 1 применяется для обозначения используемого интервала отсчета. Тогда автоковариации  разностей  будут равны

             (13.3.2)

Обозначив , получим

,

т. е. при данных  и  параметр  процесса  может быть получен решением квадратного уравнения

.

Используется корень уравнения, лежащий в интервале . Отметим, что

.             (13.3.3)

Пусть теперь процесс  наблюдается с шагом в  единиц (где  положительное целое), и результирующий процесс обозначим . Тогда

и т. д. Автоковариации  разностей  имеют вид

                  (13.3.4)

Отсюда следует, что  – также процесс :

,

где  – белый шум с дисперсией . Имеем

,

так что

.                      (13.3.5)

Далее, так как , имеем

.                   (13.3.6)

Следовательно, показано, что при отсчете процесса  с шагом  получается другой процесс .

Из (13.3.5) можно получить значение параметра  для этого процесса, а из (13.3.6) – дисперсию  этого процесса, выраженные через параметры  и  исходного процесса.

На рис. 13.6 дан график  как функции  и приведена шкала . График позволяет найти эффект увеличения интервала отсчета данного процесса в любое целое число раз. Пусть, например, мы имеем процесс с параметрами  и . Используем график, чтобы найти значения соответствующих параметров , , , , в случаях, когда интервал отсчета а) удвоен, б) учетверен. Отмечая на краю вспомогательного листка бумаги точки , ,  со шкалы графика, положим лист так, чтобы этот край был параллелен оси  и точка  совпадала с точкой кривой для . Ординаты кривой, соответствующие  и , будут равны  и . Находим

168.jpg

Рис. 13.6. Изменение интервала отсчета процесса . Параметр  для функции .

Из (13.3.6) следует, что дисперсии обычно пропорциональны ,

т.е.

Положим, что для первоначальной схемы с единичным интервалом динамическая константа равна  (индекс 1 опять обозначает интервал отсчета). Тогда, поскольку в реальном времени та же фиксированная постоянная времени  описывает все схемы, имеем

.

Схема, дающая минимальную среднеквадратичную ошибку для конкретного интервала отсчета , будет

,

или

.                       (13.3.7)

Пусть, например, , как и ранее, и ; тогда ; . Получаем оптимальные схемы

Как и следовало ожидать, при увеличении интервала отсчета и уменьшении роли динамики системы вклад интегрального регулирования увеличивается и отношение пропорционального регулирования к интегральному заметно уменьшается. Ранее отмечалось, что в некоторых случаях излишне большая дисперсия корректировок  может быть неприемлемой. Индикатором этого свойства схем являются значения . Меньшее значение  само по себе не оправдывает, конечно, выбор . Применение схемы регулирования с ограничением (подобно описанной в разд. 13.2) с  дало бы резкое уменьшение  с незначительным увеличением дисперсии выхода. Например, из табл. 13.3 для  мы находим, что при 5%-ном увеличении дисперсии выхода до значения  дисперсию входа схемы с  можно уменьшить до 22% от ее значения без ограничений, так что . Из (13.2.28) получаем, что при  схема с ограничением имеет вид

На практике можно указать ряд альтернативных схем с их характеристиками и выбрать конкретную схему для данной проблемы с позиции экономичности.

В общем увеличение дисперсии выхода, вызываемое увеличением интервала отсчета, может быть скомпенсировано экономическим выигрышем, например менее частыми наблюдениями.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>