2. Метод канонических разложений

Пусть непрерывный центрированный случайный процесс  задан каноническим разложением

,                                          (1.21)

где  — некоррелированные случайные коэффициенты с параметрами  — система некоторых детерминированных координатных функций.

Из условия некоррелированности коэффициентов , следует аналогичное каноническое разложение корреляционной функции случайного процесса :

.                                  (1.22)

Задание случайного процесса в виде канонического разложения — это и есть параметрическое задание случайного процесса, о котором шла речь в § 1.1.

Моделирование случайного процесса, заданного каноническим разложением, осуществляется довольно просто: в процессе формирования дискретных реализаций  (в процессе выработки координат случайного вектора) они вычисляются по формуле (1.21) непосредственно. При этом в качестве  используются выборочные значения некоррелированных случайных величин с параметрами . Бесконечный ряд. (1.21) при вычислениях приближенно заменяется усеченным конечным рядом.

Подготовительная работа при моделировании случайных векторов методом канонических разложений заключается в выборе системы координатных функций и в нахождении дисперсий , т. е. в осуществлении непосредственно канонического разложения. Часто в качестве координатных функций выбирают систему ортонормированных функций, т. е. функций, удовлетворяющих условию

Разложение случайного процесса в ряд с некоррелированными коэффициентами по ортонормированной системе функций всегда может быть произведено (теорема Карунена — Лоева). При этом дисперсии находятся как собственные значения, а функции  — как собственные функции интегрального уравнения [28, 68]

,                                            (1.23)

где  — интервал разложения (в том числе и );  – произвольная неотрицательная функция веса.

К сожалению, разложение (1.21), полученное с помощью (1.23), больше применяется при теоретических исследованиях, а практическое использование его затруднено, так как не существует достаточно простого общего способа решения интегральных уравнений вида (1.23). Сравнительно несложное решение можно получить лишь в некоторых специальных случаях, например для стационарных случайных процессов с рациональной спектральной плотностью.

Существуют приближенные способы получения канонических разложений случайных процессов. Среди них наиболее удобным для моделирования случайных векторов и случайных процессов является способ канонического разложения случайных функций в дискретном ряде точек, предложенный В. С. Пугачевым. Описание этого способа и порядок его практического использования дается в [68, § 58, 59]. Мы приведем здесь лишь окончательный алгоритм вычисления дисперсий  некоррелированных случайных коэффициентов  и координатных функций  в разложении (1.21).

Пусть задан случайный процесс  с корреляционной функцией  и пусть на временной оси задана последовательность точек , (не обязательно равностоящих). Требуется аппроксимировать случайный процесс  случайным процессом , представленным в виде разложения (1.21) и таким, что его корреляционная функция  совпадает с  в заданных дискретных точках, т. е.

.

Такому условию, как показано в [68], удовлетворяет каноническое разложение с конечным числом слагаемых, равным числу дискретных точек :

,                     (1.24)

причем дисперсии коэффициентов и координатные функции в разложении (1.24) могут быть найдены по следующим рекуррентным формулам:

                     (1.25)

Существенным достоинством данного способа является то, что он позволяет получить каноническое разложение с помощью обычных алгебраических операций, не прибегая к решению интегральных уравнений, и особенно удобен при небольшом числе дискретных точек. При большом числе дискретных точек данный способ требует довольно громоздких вычислений.

Корреляционная функция случайного процесса, каноническое разложение которого получается по формулам (1.26), в промежутках между дискретными точками, вообще говоря, не совпадает с корреляционной функцией исходного процесса. Однако если дискретные точки выбираются так, что значения процесса в этих точках имеют высокую корреляцию между собой, то совпадение корреляционных функций в промежуточных точках будет достаточно хорошим. Это позволяет использовать процесс  не только для формирования значений процесса  в заданных дискретных точках, но и в промежуточных точках.

Пусть требуется формировать на ЦВМ значения процесса  только в заданных  дискретных точках , т. е. требуется получать выборочные значения -мерного вектора

,

с корреляционной матрицей

,

где  — корреляционная функция дискретного случайного процесса . Используя данное каноническое разложение, получим следующий моделирующий алгоритм:

,                                 (1.26)

в котором дисперсии  некоррелированных случайных коэффициентов  и дискретные координатные функции  находятся из соотношений:

                          (1.27)

Алгоритм (1.26) можно записать в виде

,                                        (1.28)

где  — некоррелированные случайные величины с параметрами (0,1).

Если моделируемый процесс является нормальным, то, положив закон распределения случайных коэффициентов  в каноническом разложении по данному способу нормальным, придем к алгоритму, позволяющему точно, т. е. в рамках многомерных распределений, а не в рамках корреляционных приближений, формировать на ЦВМ дискретные реализации стационарных и нестационарных нормальных случайных процессов, заданных на конечном интервале времени.

При формировании по этому способу реализаций случайных векторов подготовительная работа по объему вычислительных затрат примерно такая же, что и при формировании случайных векторов с помощью линейного преобразования, описанного выше. Однако необходимое количество ячеек памяти в данном способе может быть значительно меньшим. Это имеет место в тех случаях, когда координатные функции  удается выразить достаточно простыми аналитическими выражениями. В противном случае значения  координатных функций в  дискретных точках потребуется запоминать в виде таблиц. Поскольку при этом нужно помнить еще  дисперсий  коэффициентов , то всего в общем случае потребуется  ячеек.

Сходство рассматриваемого способа моделирования случайных векторов со способом линейного преобразования является не только внешним. Оказывается (в этом проще всего можно убедиться на примерах), что алгоритм (1.16) и алгоритм (1.28), в котором  и  определяются по формулам (1.27), в точности совпадают, т. е.  и т. д.

Таким образом, формулы (1.27) являются разновидностью формул (1.19) для вычисления элементов  матрицы преобразования .