1. Основные соотношения

Ошибка интерполяции  при принятых условиях является нестационарным случайным процессом. Корреляционная функция этой ошибки по определению равна

.                                 (1.36)

На практике удобно пользоваться усредненной по аргументу  корреляционной функцией [83]. В данном случае функция  будет, очевидно, периодической по аргументу  с периодом , поэтому для получения усредненной корреляционной функции  достаточно усреднить  в интервале :

.                               (1.37)

Выразим корреляционную функцию  через корреляционную функцию  исходного случайного процесса, шаг дискретизации   и интерполирующую функцию .

Подставив в (1.37) выражения (1.34) — (1.36) и учитывая свойство линейности операции статистического усреднения, после простых преобразований получим

   (1.38)

Выражение (1.38) путем замены переменной интегрирования по формуле , а переменной суммирования в двойной сумме по формуле  преобразуется к виду

                    (1.39)

Полученное выражение упрощается, если воспользоваться очевидным тождеством

и обозначить операцию свертки двух функций  и  следующим образом:

,

а именно

   (1.40)

где . При записи предпоследнего слагаемого в формуле (1.40) использовано свойство четности функции .

Используя известные теоремы о параде функций, сопряженных по Фурье (см., например, [22]), в частности равенство Пуассона, нетрудно найти общее выражение для энергетического спектра ошибки интерполяции, имеющей корреляционную функцию (1.39):

                       (1.41)

где  — энергетический спектр исходного случайного процесса ;

 — энергетический спектр дискретного случайного процесса ;  — частота дискретизации;

 — спектр интерполирующей функции  (частотная характеристика интерполирующего фильтра).

Положив в формуле (1.40) , получим выражение для средней за период  дисперсии ошибки интерполяции

,

где ;  — дисперсия исходного случайного процесса.

С другой стороны,

.             (1.42)

Относительная среднеквадратическая ошибка интерполяции, определяемая как , имеет вид

,                          (1.43)

где — коэффициент корреляции исходного случайного процесса.

Представляет интерес значение спектральной плотности ошибки интерполяции на нулевой частоте . Согласно (1.41)

,                              (1.44)

т. е. спектральная плотность ошибки на нулевой частоте для всех интерполирующих фильтров с одинаковым коэффициентом передачи на нулевой частоте  одинакова.

У наиболее распространенных типов интерполирующих фильтров, как будет показано ниже (см. табл. 1.1), коэффициенты  равны.