2. Оптимальные интерполирующие фильтрыИспользуя формулу (1.42), нетрудно найти оптимальную частотную характеристику интерполирующего фильтра, обеспечивающую минимальную ошибку интерполяции. Действительно, минимизация дисперсии ошибки
Минимум величины Таким образом, оптимальная частотная характеристика интерполирующего фильтра имеет вид
При этом согласно (1.42) и (1.45) минимальная ошибка интерполяции процесса равна
Частотная характеристика
есть четная положительно определенная функция, т. е. она относится к классу корреляционных функций стационарных случайных процессов. Оптимальные интерполирующие фильтры с такой импульсной переходной характеристикой являются, очевидно, физически неосуществимыми и для точного восстановления процесса требуется бесконечная задержка его во времени так же, как и при восстановлении процесса в соответствии с теоремой Котельникова. Известно [85], что
могут быть безошибочно восстановлены с помощью интерполирующего фильтра с частотной характеристикой т. е. с помощью идеального фильтра нижних частот в соответствии с теоремой Котельникова. Реальные сигналы не могут иметь строго ограниченного спектра [82], поэтому восстановление их по дискретным данным всегда будет сопровождаться некоторой ненулевой погрешностью.
|