2.6. Алгоритмы для цифрового моделирования стационарных нормальных случайных процессов с часто встречающимися типами корреляционных функцийВыше были описаны различные методы моделирования случайных процессов, где рассматривалась в основном принципиальная сторона вопроса. В данном параграфе приводятся результаты применения этих методов для моделирования стационарных нормальных процессов с распространенными типами корреляционных функций. При этом проделана вся необходимая подготовительная работа и получены простые моделирующие алгоритмы, пригодные для непосредственного использования. Кроме того, даны примеры практической реализации моделирующих алгоритмов. В табл. 2.2 даны типы корреляционных функций и энергетических спектров моделируемых процессов и соответствующие им алгоритмы. Ниже даются необходимые пояснения.
Таблица 2.2.
Продолжение таблицы 2.2.
Продолжение таблицы 2.2.
Продолжение таблицы 2.2.
Заданный стационарный нормальный непрерывный случайный процесс
Случайные процессы с корреляционными функциями, помещенными в таблице под № 1-5, относятся к классу случайных процессов с рациональной спектральной плотностью. Для моделирования таких процессов наиболее удобным является применение разностных уравнений (§ 2.3), что приводит к алгоритмам, не имеющим методической погрешности и сводящимся к простым рекуррентным соотношениям. Алгоритмы № 1-5 получены этим способом. Алгоритмы № 1 и 2 для моделирования процессов с экспоненциальной и экспоненциально-косинусной корреляционными функциями уже рассматривались в § 2.3 и пояснений не требуют. Алгоритмы № 2-5 одинаковы и отличаются лишь значениями параметров Для моделирования случайных процессов № 6-8, которые не относятся к классу процессов с рациональной спектральной плотностью, был применен метод скользящего суммирования как наиболее эффективный в данном случае. Согласно алгоритмам № 6-8 последовательность Алгоритмы № 6-8 являются приближенными, однако при увеличении параметра Алгоритмы, приведенные в табл. 2.2, были подвергнуты практической проверке. Проверка производилась путем выработки на ЦВМ реализаций моделируемых случайных процессов длиной в 1000 дискрет при При выработке начальных значений На рис. 2.5 показаны начальные участки реализаций длиной в 400 дискрет некоторых случайных процессов из табл. 2.2; для удобства реализации изображены непрерывной линией. Рядом с реализациями изображены заданные корреляционные функции (сплошная линия) вместе с корреляционными функциями, вычисленными на ЦВМ по этим реализациям (пунктир). Графики помечены теми же номерами, что и корреляционные функции в табл. 2.2. Значения параметров Рис. 2.5 Случайный процесс с корреляционной функцией № 2 недифференцируемый, поэтому его реализации имеют не такой гладкий характер, как остальные четыре реализации дифференцируемых случайных процессов. Между реализациями № 2 и 3, а также между реализациями № 6, 7 можно заметить определенное сходство, которое объясняется тем, что реализации формировались на ЦВМ путем преобразования одной и той же дискретной реализации белого шума. В начале реализаций № 2, 3 видны довольно большие отрицательные выбросы. Эти выбросы являются результатом искажения начальных участков моделируемых процессов из-за переходного процесса. Действительно, начальные условия выбраны так, что только случайные процессы № 1 и № 5-9 являются с самого начала стационарными. Для того чтобы избавиться от переходного процесса при моделировании случайных процессов № 2-4, нужно при вычислении их начальных значений Элементы этой матрицы легко находятся, если в соотношении Рассмотренный прием нетрудно распространить на рекуррентные алгоритмы более высокого порядка. В заключение укажем на некоторые приемы, позволяющие расширить класс моделируемых стационарных нормальных случайных процессов путем несложных преобразований рассмотренных выше алгоритмов. Известно, например, что при суммировании нескольких независимых стационарных нормальных случайных процессов образуется стационарный нормальный случайный процесс, корреляционная функция которого равна сумме корреляционных функций слагаемых. Отсюда, если корреляционная функция процесса является суммой двух или более корреляционных функций из табл. 2.2, то дискретные реализации этого процесса можно формировать путем суммирования двух или более независимых реализаций, получаемых по приведенным алгоритмам. Если, например, корреляционная функция моделируемого процесса имеет вид
то алгоритм для формирования его дискретных реализаций запишется в виде
где
Параметры алгоритмов (2.81) находятся по формулам, приведенным в табл. 2.2 для алгоритма № 2, при Рассмотрим еще один прием преобразования. Из теории случайных процессов (см., например, [78]) известна следующая теорема. Если
будет также стационарным нормальным центрированным случайным процессом, но с корреляционной функцией
Этот факт позволяет легко моделировать нормальные случайные процессы с корреляционной функцией вида (2.83), если известен алгоритм для моделирования нормального случайного процесса с корреляционной функцией
где Для вычисления дискретных тригонометрических функций
|