2.8. Моделирование стационарных случайных процессов с распространенными одномерными законами распределения

В этом параграфе рассматриваются возможные алгоритмы для моделирования на ЦВМ ненормальных стационарных случайных процессов с часто встречающимися одномерными законами распределения и заданными корреляционными функциями.

1. Случайный процесс с равномерным распределением

Пусть требуется формировать на ЦВМ дискретные реализации стационарного случайного процесса, равномерно распределенного в интервале  и имеющего корреляционную функцию

,                (2.90)

где  — коэффициент корреляции процесса.

Для получения случайного процесса  с равномерным распределением из нормального случайного процесса  достаточно, как известно, подвергнуть последний нелинейному преобразованию с характеристикой нелинейности типа «сглаженный ограничитель». Точное выражение для функции  в случае, когда исходный нормальный процесс имеет параметры (0, 1) и требуется получить равномерно распределенный в интервале  процесс, имеет вид

,             (2.91)

где  — функция Лапласа.

Корреляционную функцию случайного процесса  получаемого с помощью преобразования  (2.91), удается выразить в замкнутой форме через корреляционную функцию  исходного нормального случайного процесса (см., например, [80], стр. 213—214):

.

Отсюда, для того чтобы получить заданную корреляционную функцию  равномерно распределенного случайного процесса, нужно брать исходный случайный процесс с коэффициентом корреляции

.                        (2.92)

Легко видеть, что коэффициент корреляции  почти совпадает в (2.92) с коэффициентом корреляции . Действительно, поскольку аргумент у синуса в (2.92) изменяется в пределах от  до , замена функции синуса на этом интервале прямой линией внесет несущественную погрешность. Поэтому практически можно считать, что

,

т. е. сглаженный ограничитель, превращающий нормальный случайный процесс в процесс с равномерным распределением, почти не искажает энергетический спектр исходного процесса.

Оценим искажения корреляционной функции по величине максимума разности

.

Исследование функции  на экстремум показывает, что максимум ошибки  в интервале (-1, 1) наблюдается при

,

причем величина максимума равна

.

Отсюда видим, что максимальная погрешность в коэффициенте корреляции менее 2%. Такой погрешностью во многих практических случаях можно пренебречь.

График ошибки  как функции  показан на рис. 2.6. Таким образом, можно использовать следующий алгоритм моделирования случайного процесса с равномерным в интервале  распределением и заданной корреляционной функцией (2.90): на ЦВМ формируются реализации стационарного нормального случайного процесса  с параметрами (0, 1) и коэффициентами корреляции , которые путем нелинейного безынерционного преобразования (2.91) превращаются в реализации процесса с желаемыми характеристиками.

Рис. 2.6