2. Релеевский случайный процесс

Одномерная функция плотности, среднее значение и дисперсия процесса этого типа определяются соотношениями:

             (2.93)

где  - параметр распределения.

В задачах статистической радиотехники релеевский случайный процесс появляется обычно при рассмотрении огибающей стационарного узкополосного нормального шума [50, 80]. В связи с этим релеевский процесс  выражается через два одинаковых независимых стационарных нормальных случайных процесса  и  с параметрами  (квадратурные составляющие узкополосного нормального шума с симметричным энергетическим спектром) в виде

.                           (2.94)

При этом корреляционная функция  релеевского случайного процесса (имеется в виду корреляционная функция нецентрированного релеевского процесса, такая, что ) связана с нормированной корреляционной функцией  процессов  и  зависимостью (см., например, [80]):

,                       (2.95)

где  — нормированная корреляционная функция центрированного релеевского процесса.

В задачах, не требующих высокой точности решения, ряд (2.95) ввиду быстрой его сходимости можно ограничить лишь первыми двумя членами и считать, что  совпадает с , т. е.

.

Отсюда

.                            (2.96)

Это открывает следующий простой путь приближенного моделирования релеевского случайного процесса с корреляционной функцией  и одномерной плотностью вероятностей (2.93): на ЦВМ одним из изложенных ранее способов формируются .дискретные реализации двух независимых стационарных случайных процессов  и  с параметрами (0, 1) и с коэффициентом корреляции , определяемым соотношением (2.96), а из них по формуле

формируются реализации релеевского случайного процесса.

Погрешность метода при этом будет незначительной. Для оценки погрешности найдем разность между заданным коэффициентом корреляции  и получаемым . Зависимость , определяемую рядом (2.95), удается выразить в замкнутом виде следующим образом:

,

где  и  - полные эллиптические интегралы первого и второго рода [92].

Отсюда

.

В результате упрощений, сделанных при выводе формулы (2.96), заданный коэффициент корреляции  приближенно заменяется величиной , что приводит к ошибке

.

Используя таблицы полных эллиптических интегралов [92], можно найти зависимость ошибки  как функцию . На рис. 2.7 показан график ошибки , из которого видно, что максимальная погрешность формирования коэффициента корреляции составляет 2,5%. Такая ошибка во многих практических задачах является ;вполне допустимой.

Заметим, что описываемый способ моделирования пригоден лишь для случаев, когда заданный коэффициент корреляции  не принимает отрицательных значений, иначе в формуле (2.96) появятся мнимые величины.

Рис. 2.7

Пример 1. Пусть для моделирования задан релеевский случайный процесс, корреляционную функцию которого можно аппроксимировать экспонентой:

.                              (2.97)

Подставляя (2.97) в формулу (2.96), найдем нормированную корреляционную функцию исходных нормальных случайных процессов

.

Используя готовый алгоритм для моделирования нормального случайного процесса с экспоненциальной корреляционной функцией (табл. 2.2), получим следующий алгоритм для моделирования данного релеевокого случайного процесса:

,                   (2.98)

где  - последовательности независимых нормальных случайных чисел с параметрами (0,1).