2.9. Моделирование многомерных стационарных нормальных случайных процессов

Многомерный стационарный случайный процесс определяется как совокупность  стационарных и стационарно связанных между собой случайных процессов . Такой процесс принято обозначать в виде случайного вектора-столбца, зависящего от времени:

.

Многомерные случайные процессы используются при описании многомерных (многоканальных) систем. В настоящем параграфе рассматривается задача цифрового моделирования нормальных многомерных стационарных случайных процессов. Результатом решения этой задачи, как и в одномерном случае, является алгоритм, позволяющий формировать на ЦВМ многомерные дискретные реализации заданного процесса. -мерный непрерывный нормальный стационарный случайный процесс  задается обычно либо в виде его корреляционной матрицы [35, 70]

либо в виде спектральной матрицы

где  - автокорреляционные (при ) и взаимно корреляционные (при ) функции случайных процессов  — преобразование Фурье от . При этом, поскольку , элементы  и  спектральной матрицы комплексно-сопряженные,

.

Дискретные многомерные нормальные случайные процессы задаются аналогично непрерывным с помощью корреляционных и спектральных матриц (35, 70]

где , причем .

Задачу цифрового моделирования многомерного нормального случайного процесса целесообразно сформулировать следующим образом. Задана корреляционная или спектральная матрица случайного процесса. Требуется отыскать алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса с заданными корреляционными (спектральными) свойствами.

Для решения этой задачи воспользуемся, как и ранее, идеей формирующего линейного фильтра. В рассматриваемом случае речь идет о синтезе многомерного формирующего фильтра.

-мерный линейный фильтр определяется как линейная динамическая система с  входами и  выходами [35]. Если  — входное воздействие и  — реакция системы, то связь между входом и выходом -мерного линейного непрерывного фильтра описывается с помощью передаточной матрицы в виде

где  и  - изображения входного и выходного сигналов соответственно в смысле преобразования Лапласа;  - передаточная матрица -мерного фильтра, у которой элементы  являются передаточными функциями каналов -й вход — -й выход.

Аналогично описывается связь вход — выход в дискретных -мерных линейных фильтрах:

,

где  и  - изображения в смысле дискретного  преобразования Лапласа входного и выходного сигналов;  — передаточная матрица дискретного -мерного фильтра.

Структурная схема многомерного фильтра на примере двумерного фильтра приведена на рис. 2.9, согласно которому

        (2.107)

Видим, что каждый из выходных сигналов  и  является суммой линейных операторов от входных сигналов  и . Аналогичные соотношения имеют место и в общем случае. В этом и состоит идентификация передаточных матриц [35].

Пусть воздействие на входе -мерного линейного фильтра представляет собой -мерный белый шум, т. е. случайный процесс с корреляционной матрицей вида

для непрерывного времени и

для дискретного времени, где   - дельта-функция. -мерный белый шум определен здесь как совокупность  независимых между собой -коррелированных случайных процессов.

Рис. 2.9

Можно показать (см., например, [35]), что при воздействии белого шума спектральная матрица процесса на выходе  - мерного фильтра для непрерывного и дискретного времени соответственно связана с передаточной матрицей фильтра соотношениями

                         (2.108)

где символом  обозначена транспонированная матрица.

Следовательно, для получения -мерного случайного процесса с заданной спектральной матрицей нужно пропустить -мерный белый шум через -мерный формирующий фильтр, передаточная матрица которого удовлетворяет уравнениям (2.108). Для нахождения передаточной матрицы по заданной спектральной матрице требуется разбиение последней на два сомножителя вида (2.108). Эта процедура называется факторизацией спектральных матриц. Она может быть реализована по известным алгоритмам [35, 70].

Многомерная фильтрация белого шума осуществляется достаточно просто: каждая составляющая  случайного процесса  на  выходе -мерного фильтра с передаточной матрицей  получается путем суммирования по  составляющих  входного процесса , профильтрованных одномерными фильтрами с передаточными функциями  [см. формулу (2.107)]. Алгоритмы одномерной фильтрации рассмотрены выше.

При данном способе моделирования возможны два пути: 1) заданную спектральную матрицу непрерывного -мерного случайного процесса можно непосредственно подвергнуть факторизации для получения передаточной матрицы непрерывного формирующего фильтра, а затем, используя описанные выше точные или приближенные методы дискретизации непрерывных, фильтров, осуществить многомерную фильтрацию непрерывного белого шума; 2) по заданной спектральной матрице  непрерывного -мерного процесса , используя -преобразование, можно найти спектральную матрицу  соответствующего дискретного случайного процесса  (см. § 2.3), далее путем факторизации  найти передаточную, функцию дискретного формирующего фильтра, а затем произвести многомерную фильтрацию дискретного белого шума.

Наибольшие трудности встречаются при факторизации спектральных матриц. В настоящее время разработаны алгоритмы факторизации лишь рациональных спектральных матриц, т. е. таких матриц, элементы которых являются дробно-рациональными функциями аргументов  или .

Опишем, опуская доказательства, один из алгоритмов факторизации рациональных спектральных матриц, взятый из [70].

Пусть задана рациональная спектральная матрица

.

Матрица  может быть приведена к виду

путем следующих преобразований.

1. Определяется ранг матрицы , затем один из главных миноров порядка  располагается в левом верхнем углу матрицы .

2. Матрица  приводится к диагональному виду. Для этого к -й строке матрицы , , прибавляется первая строка, умноженная на — , затем к -му столбцу прибавляется первый столбец, умноженный на ; получается матрица

,                                   (2.109)

где элементы матрицы

имеют вид

                          (2.110)

С матрицей  проделываются те же преобразования, что с исходной матрицей . При продолжении этого процесса на -м шаге получается диагональная матрица

такая, что .

3. Находится вспомогательная матрица

элементы которой имеют следующий вид:

                            (2.111)

где  определяются из рекуррентных соотношений

                             (2.112)

4. Находятся вспомогательные полиномы

где  - нули полиномов , лежащих в нижней полуплоскости, считаемые столько раз, какова их максимальная кратность, причем  — знаменатели дробно-рациональных функций, представляющих собой элементы матрицы :

.

5. По способу, рассмотренному в § 2.9, п. 2, дробно-рациональные функции

представляются в виде

,

где полиномы  и  не имеют нулей в нижней полуплоскости.

На этом процесс факторизации заканчивается. Окончательно передаточная матрица формирующего фильтра записывается в виде

                   (2.113)

Здесь описан алгоритм факторизации рациональных спектральных матриц непрерывных  многомерных  процессов. Факторизация спектральных матриц дискретных процессов осуществляется аналогично, только вместо корней, расположенных в нижней полуплоскости, берутся корни, расположенные в единичном круге.

Пример 1. Пусть задан двумерный непрерывный стационарный центрированный случайный процесс  с корреляционной матрицей

,             (2.114)

где  - некоторые положительные константы, причем .

Корреляционная  матрица, соответствующая спектральной  матрице (2.114), имеет вид

,                     (2.115)

где  и  - автокорреляционные и взаимно корреляционный моменты процессов  и  соответственно;  — коэффициент взаимной корреляции процессов  и  совпадающие моменты времени. Коэффициенты  и  представляют собой в данном случае ширину (на уровне 0,5) энергетических спектров  и взаимного энергетического спектра  процессов  и .

Требуется произвести факторизацию спектральной матрицы (2.114) для получения передаточной матрицы формирующего фильтра.

Будем осуществлять процедуру факторизации поэтапно в соответствии с приведенным  выше  алгоритмом факторизации.

1. В данном случае ранг спектральной матрицы .

2. Для приведения матрицы  к диагональной требуется один шаг. По формулам (2.109) и (2.110) получаем

.

3. В соответствии с выражениями (2.111) и (2.112) вспомогательная матрица  имеет вид

4. В рассматриваемом случае нужно найти лишь один вспомогательный полином . Для этого требуется найти корни знаменателя у элемента  матрицы , т. е. корни полинома . Эти корни равны

.

Следовательно,

.

5. На заключительном этапе требуется произвести факторизацию дробно-рациональных функций

и

,

где .

В данном случае корни числителей и знаменателей у дробно-рациональных функций  и  легко вычисляются. Используя корни, лежащие в верхней полуплоскости (корни с положительными мнимыми частями), получим

где  и - это те из корней

полинома , которые имеют положительную мнимую часть.

Окончательно передаточная матрица формирующего фильтра в соответствии с (2.113) запишется в виде

.

Передаточную функцию  в матрице  можно несколько упростить, умножив числитель и знаменатель на  и сократив полученное выражение на  и , тогда

.

Путем непосредственной подстановки легко убедиться, что матрица  удовлетворяет условию

.

Элементы  передаточной матрицы  представляют собой передаточные функции двумерного формирующего фильтра по каналам «-й вход — -й выход» в смысле преобразования Фурье. Для получения передаточных функций в смысле преобразования Лапласа перейдем от переменной  к переменной :

.

На рис. 2.9 показана структурная схема двумерного формирующего фильтра, на выходе которого образуется двумерный случайный процесс с требуемыми спектральными характеристиками, если на вход фильтра воздействует белый шум. Заменяя непрерывный двумерный фильтр соответствующим дискретным фильтром, получим алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций двумерного случайного нормального процесса, т. е. дискретных реализаций двух стационарных и стационарно-связанных нормальных случайных процессов с экспоненциальными авто- и взаимно корреляционными функциями вида (2.115).

При другом подходе к синтезу формирующего фильтра нужно сначала найти спектральную матрицу соответствующего дискретного многомерного случайного процесса . В рассматриваемом примере эта матрица имеет вид

где

.

Произведя факторизацию спектральной матрицы  аналогично факторизации спектральной матрицы , получим

.             (2.116)

Здесь  и  — это те из корней

,

абсолютная величина которых больше единицы, где

Передаточной матрице (2.116) соответствует следующий рекуррентный алгоритм формирования дискретных реализаций процессов  и  из реализаций независимых последовательностей  и  независимых нормальных случайных чисел с параметрами  (дискретный двумерный белый шум)

где

Написанные рекуррентные уравнения легко получить, если произвести идентификацию передаточных функций  и  матрицы (2.116).

Рассмотренный пример показывает, что факторизация спектральных матриц осуществляется сравнительно просто, если удается аналитически найти нули соответствующих полиномов. При факторизации спектральной матрицы непрерывного двумерного процесса это не представляло труда, так как для определения нулей требовалось решать только квадратные и биквадратные уравнения. При факторизации спектральной матрицы дискретного двумерного процесса были квадратные уравнения и возвратное уравнение четвертой степени, также допускающее аналитическое решение.

В других, более сложных случаях нули полинома не всегда удается найти аналитически. В этих случаях прибегают к численным методам решения уравнений  - й степени. В общем виде процесс факторизации можно реализовать на ЦВМ как стандартную программу. Для этой цели кроме приведенного здесь могут быть использованы и другие алгоритмы факторизации [91, 95, 97].

Следует заметить, что все существующие в настоящее время алгоритмы факторизации спектральных матриц, вообще говоря, весьма трудоемки.