5. Случайный процесс с одномерным распределением по закону арксинуса

Рассмотрим случайный процесс  в виде следующего преобразования нормального стационарного случайного процесса  с параметрами (0, 1):

,                              (2.103)

где  — некоторая константа.

В данном случае нелинейное преобразование  немонотонное и является периодической функцией. Если функцию  подставить в формулу (2.87) и при интегрировании по переменным  и  воспользоваться табличным интегралом [25]

,

то для функции  нетрудно получить следующее выражение:

.                               (2.104)

Согласно (2.104) коэффициент корреляции случайного процесса  связан с коэффициентом корреляции исходного процесса  соотношением

.

Отсюда

.                                         (2.105)

Рассмотрим теперь преобразование законов распределения.

В общем случае закон распределения процесса  как закон распределения периодической функции  от нормально распределенной случайной величины  выражается сложным образом через закон распределения аргумента. Однако при достаточно большом параметре  распределение нормальной случайной величины , приведенное к интервалу периодичности функции , т. е. к интервалу , как показано в [51], будет весьма близким к равномерному на интервале периодичности. Тогда распределение случайной величины  будет подчинено закону арксинуса:

.                                 (2.106)

Для этого вполне достаточно взять параметр , что приводит к погрешности в равномерном законе всего лишь порядка  [51].

Случайные процессы с распределением (2.106) могут иметь место на выходе схем с фазовым детектором.

Таким образом, для моделирования стационарного случайного процесса с коэффициентом корреляции  и законом распределения арксинуса (2.106) нужно сформировать стационарный нормальный случайный процесс с коэффициентом корреляции

,

а затем пропустить нормальный процесс через нелинейный элемент с синусоидальной характеристикой , положив, например, .

Если допустима меньшая точность воспроизведения закона распределения, то параметр  можно уменьшить. Удовлетворительная точность получается при .

Заметим, что нелинейное преобразование (2.103) при  вносит большие корреляционные искажения [зависимость (2.105) явно нелинейная], поэтому при моделировании исходный нормальный случайный процесс  нужно брать с корреляционной функцией, определяемой точным выражением [формула (2.105)].