4. Логарифмически-нормальный случайный процесс

Одномерная плотность вероятностей, среднее значение и дисперсия логарифмически-нормального случайного процесса имеют вид

,

где  - параметр распределения.

Логарифмически-нормальный случайный процесс часто используется в качестве модели атмосферных и индустриальных помех [4].

Данный случайный процесс можно рассматривать как нелинейное безынерционное преобразование стационарного нормального случайного процесса с параметрами  звеном с характеристикой нелинейности . В дальнейшем, не нарушая общности, положим .

Для получения зависимости  подставим функцию  в двойной интеграл (2.87). В данном случае функция  такова, что интеграл (2.87) удается выразить в конечном виде. Последнее легко сделать, так как интегрирование по переменным  и  сводится к вычислению табличных интегралов вида [25]

.

В результате получим

.                          (2.101)

Отсюда .

Таким образом, для моделирования стационарного логарифмически-нормального случайного процесса с коэффициентом корреляции  нужно сформировать нормальный стационарный случайный процесс с коэффициентом корреляции

,                     (2.102)

а затем пропустить его через нелинейный элемент с экспоненциальной характеристикой .

Оценим, к каким корреляционным искажениям приводит замена требуемого коэффициента корреляции , определяемого формулой (2.102), коэффициентом корреляции  моделируемого процесса. Величина ошибки согласно (2.101) равна

.

График функции  показан на рис. 2.8, из которого видно, что максимальная ошибка составляет 20% при . Если возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале , то ошибка не превышает 10%. Как видно, в этом случае корреляционные искажения довольно большие, поэтому чаще приходится пользоваться точным выражением для коэффициента корреляции исходного процесса.

Рис. 2.8