1. Дискретизация с использованием формул численного интегрирования

Наиболее простым по своей идее способом получения цифровых моделей непрерывных систем является замена интегралов вида (3.3) — (3.8) соответствующими суммами. Для замены интегралов суммами существует большое количество методов (методы численного интегрирования).

Рассмотрим применение формул численного интегрирования на примере выражения (3.5), когда функция  имеет двустороннее ограничение (функцию , неограниченную вправо, можно приближенно заменить ограниченной, если  при ).

Дискретные значения сигнала на выходе системы в точках  равны

.

Пусть дискретный входной сигнал  задан с тем же шагом  и пусть  в целое число раз меньше , т. е. . При достаточно малом  последовательность  проще всего найти, заменяя интеграл суммой по способу прямоугольников, основанному на замене подынтегральной функции ступенчатой кривой:

,                            (3.9)

где  - дискретная импульсная переходная характеристика.

Аналогично осуществляется дискретизация и других уравнений (3.4) — (3.8). Например, уравнению (3.4) соответствует следующий дискретный эквивалент:

 .                           (3.10)

Согласно алгоритму (3.9) преобразование дискретного входного процесса  в дискретный выходной процесс  осуществляется путем скользящего суммирования первого с весовой функцией , равной с точностью до множителя  дискретной импульсной переходной характеристике системы, другими словами, путем дискретной свертки функций  и .

Существует ряд других методов численного интегрирования, более точных по сравнению со способом прямоугольников (см., например, [3]). Из них часто применяются метод трапеций и метод Симпсона (формула парабол). При использовании метода трапеций формулы (3.9) и (3.10) имеют соответственно вид

,                                    (3.11)

,                                    (3.12)

где

.

При использовании метода Симпсона нужно выбрать параметр  четным и вычисления производить по формуле

,                                    (3.13)

где

.

В общем случае применение методов численного интегрирования сводится к различному выбору коэффициентов . Это относится и к методу прямоугольников, для которого согласно (3.9)

,

т. е. все , кроме последнего, равны единице; последний коэффициент равен нулю.

В задачах, не требующих большой точности решения, удобно использовать формулу прямоугольников как наиболее простую. Погрешность интерполяции систем по способу прямоугольников будет оценена ниже. Как было показано в § 2.2, п. 2, аппроксимация, по способу прямоугольников не сопровождается погрешностью, если функции  и  имеют спектры, ограниченные частотой , что соответствует случаю, когда спектр входного сигнала и полоса пропускания системы строго ограничены частотой , а шаг дискретизации  выбран в соответствии с теоремой Котельникова.

Следует заметить, что если подынтегральная функция на концах интервала интегрирования обращается в нуль, например при , формула прямоугольников и формула трапеций дают совершенно одинаковый результат. Такой вывод с очевидностью следует из формул (3.9) и (3.11).

Формулы (3.9) — (3.13) описывают поведение некоторых дискретных линейных фильтров (см. § 2.1). Передаточные функции этих фильтров, определяемые как отношение  - преобразования дискретного выходного сигнала  к  - преобразованию дискретного входного сигнала  имеют вид [85]:

                          (3.14)

при одностороннем ограничении,

                          (3.15)

при двустороннем ограничении по времени импульсной переходной характеристики системы.

Формулы (3.14), (3.15) непосредственно получаются из формул (3.9) — (3.13), если  рассматривать как оператор задержки последовательности  на  периодов. Отсюда следует, что передаточные функции  являются  - преобразованием от весовой функции , представляющей собой последовательность значений импульсной переходной характеристики системы с весом .

Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.15) изображена на рис. 2.1 (если заменить  на  соответственно). Согласно этой схеме последовательность дискретных значений входного сигнала поступает на линию задержки с  отводами, задержка между которыми равна . К отводам подключены весовые усилители с коэффициентами усиления . Для образования дискретного сигнала на выходе системы выходы весовых усилителей суммируются.

Процесс дискретной фильтрации по схеме рис. 2.1 можно легко реализовать на ЦВМ в виде стандартной программы, входными параметрами которой являются  и . Коэффициенты  должны быть вычислены заранее. Значения их при выбранном  определяются дискретной импульсной переходной характеристикой системы и выбранным способом численного интегрирования. В простейшем случае . Линию задержки можно имитировать на ЦВМ, используя операцию пересылки содержимого ячеек оперативной памяти, хранящих текущие значения входного сигнала от  до .

Вычисления по схеме рис. 2.1 можно производить также с помощью готовой стандартной операции перемножения матриц. Действительно, пусть входной дискретный сигнал , и дискретная импульсная переходная характеристика системы , причем  ограничены во времени. Тогда, очевидно, выходной дискретный сигнал будет последовательностью из  чисел, которая удовлетворяет следующему матричному равенству:

(3.16)

где .

Запись матриц для случая  аналогична.

В выражении (3.16) матрица порядка , составленная из элементов , формируется следующим образом: каждая строка получается из предыдущей строки сдвигом на один элемент вправо. Так, например, если , то матричная запись будет иметь вид:

.

В изложенной процедуре замены непрерывной системы эквивалентной дискретной системой использован косвенный путь, основанный на применении методов численного интегрирования к интегралам свертки (3.4) — (3.8). Дискретный фильтр, приближенно заменяющий непрерывный фильтр, можно получить также несколько иным путем: непосредственно из рассмотрения импульсной системы, эквивалентной непрерывной системе.