3.2. Цифровые модели  непрерывных линейных динамических систем, основанные на дискретной свертке

Рассмотрим непрерывную линейную динамическую систему с постоянными параметрами. В качестве основных характеристик системы обычно используются передаточная функция  в смысле преобразования Лапласа и импульсная переходная характеристика , представляющая собой реакцию системы на -функцию. В общем случае функции  и  являются, как известно, парой функций, сопряженных по Лапласу:

                                      (3.1)

Если функция  абсолютно интегрируема, то характеристики  и  связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье:

                                       (3.2)

Формулы (3.2) являются частным случаем формул (3.1).

Для того чтобы при нулевых начальных условиях определить реакцию линейной системы на сигнал произвольного вида, достаточно иметь характеристики  или .

При моделировании в качестве основной характеристики линейной системы удобно использовать импульсную переходную характеристику , с помощью которой можно довольно просто выразить сигнал  на выходе системы через входной сигнал :

.                        (3.3)

Согласно формуле (3.3) сигнал на выходе линейной системы является результатом скользящего интегрирования входного сигнала с весовой функцией . Формула (3.3) называется, как известно, интегралом Дюамеля, а также формулой свертки. В дальнейшем будет использоваться последний термин.

В формуле (3.3) предполагается, что подынтегральные функции заданы на всей оси, при этом они могут быть неограниченными и ограниченными во времени. В последнем случае значения функций вне области задания полагаются тождественно равными нулю.

При различных односторонних и двусторонних ограничениях во времени функций  и  пределы интегрирования можно уточнить. В наиболее распространенных частных случаях ограничений по времени формула (3.3), как нетрудно показать, имеет следующий вид.

1. Сигнал  неограничен во времени. Функция  имеет одностороннее ограничение:  при  (это условие всегда имеет место для физически осуществимых линейных систем),

.                                   (3.4)

2. Сигнал  неограничен во времени. Функция  имеет двустороннее ограничение:  при  и ,

.                                               (3.5)

3. Функции  и  имеют одностороннее ограничение:  при  и  при ,

                                   (3.6)

4. Сигнал  имеет двустороннее ограничение:  при  и при , функция  ограничена с одной стороны:  при ,

                             (3.7)

5. Функции  и  имеют одинаковое двустороннее ограничение:  при  и при ,

                    (3.8)

Формула (3.8) используется, например, при анализе прохождения импульсного сигнала через согласованный с ним оптимальный фильтр [88].

Выражения (3.4) — (3.8) представляют собой непрерывные математические модели линейных динамических систем с постоянными параметрами. Одним из принципов получения цифровых моделей непрерывных систем является переход от уравнений (3.3) — (3.8) к соответствующим дискретным эквивалентам. Рассмотрим методы дискретизации этих уравнений.