4. Метод, предложенный автором (Быковым В.В.) [17]

Метод основан на замене формулы свертки рекуррентным уравнением. Сущность его состоит в следующем.

Выразим сигнал  на выходе системы с помощью Формулы свертки

,                                 (3.47)

где  - сигнал на входе системы.

Предположим сначала, что полюсы  передаточной функции системы простые, тогда импульсная переходная характеристика системы является суперпозицией экспонент [формула (3.33)]:

,                            (3.48)

где коэффициенты  определяются формулой (3.34).

Разложению (3.48) соответствует разложение выходного сигнала в виде

.                                  (3.49)

Экспоненциальная форма весовой функции  в формуле (3.48) позволяет найти простое рекуррентное уравнение для вычисления дискретных значений сигнала  (см. § 2.3, п. 2). Действительно, дискретные значения сигнала  в точках  равны

или, после замены  на ,

,                         (3.50)

где .

Значение сигнала  на  шагов вперед, т. е. в точке  равно

.                                   (3.51)

Производя интегрирование в формуле (3.51) в два этапа: сначала по промежутку , а затем по промежутку , придем к рекуррентной формуле:

                    (3.52)

где

.

Положив, в частности,  и применив к интегралу  формулу трапеций с шагом 1, получим

или

.                    (3.53)

Дискретные значения  сигнала  согласно (3.49) являются суммой дискретных значений его составляющих  следовательно,

.             (3.54)

Уравнение (3.53) описывает поведение дискретного фильтра с передаточной функцией

.                         (3.55)

Уравнению (3.54) соответствует, очевидно, дискретный фильтр с передаточной функцией в виде суммы передаточных функций . Поэтому окончательно дискретная передаточная функция , аппроксимирующая непрерывную передаточную функцию, имеющую простые полюсы , в рассматриваемом случае дается следующей общей формулой:

,                               (3.56)

где

.  (3.57)

Если в формуле (3.52) положить  и для вычисления интеграла  использовать метод  Симпсона [3], то по аналогии с предыдущим получим передаточную функцию  в виде

.                              (3.58)

Увеличивая значение  в формуле (3.52) и используя для вычисления интеграла  более сложные и более точные алгоритмы численного интегрирования, например способ  Симпсона при , легко можно продолжить отыскание ряда дискретных передаточных функций , начатого формулами (3.56) и (3.58).

Данный метод допускает обобщение на случай кратных полюсов, когда импульсную переходную характеристику системы согласно (3.27) можно представить как суперпозицию составляющих вида

.                           (3.59)

Можно показать, что при использовании этого метода в сочетании со способом трапеций для нахождения .передаточных функций , соответствующих непрерывным фильтрам с импульсной переходной характеристикой вида (3.59), получаются результаты, совпадающие при  с результатами применения метода -преобразования. Поэтому рассматриваемый метод при наличии кратных полюсов можно применять совместно с методом -преобразования, находя  по формулам (3.55) или (3.58), а , — по формуле (3.31) или по табл. 3.1.

В заключение заметим, что изложенный метод несколько расширен по сравнению с [17].

Прежде чем переходить к характеристике других методов дискретной аппроксимации, необходимо сделать некоторые замечания к перечисленным методам. Все описанные методы требуют отыскания полюсов передаточной функции , после чего дискретная передаточная функция  находится непосредственно по соответствующим формулам. Преобразование ее к дробно-рациональному виду (3.23) осуществляется с помощью простых алгебраических операций (приведение суммы рациональных функций  к общему знаменателю и приведение подобных членов).

Рис. 3.3

Все описанные методы требуют отыскания полюсов передаточной функции , после чего дискретная передаточная функция  находится непосредственно по соответствующим формулам. Преобразование ее к дробно-рациональному виду (3.23) осуществляется с помощью простых алгебраических операций (приведение суммы рациональных функций  к общему знаменателю и приведение подобных членов).

Полюсы передаточных функций систем невысокого порядка отыскиваются легко. При нахождении полюсов для систем высокого порядка встречаются большие трудности. В этих случаях дискретную передаточную функцию  всей системы можно найти по дискретным передаточным функциям ее отдельных звеньев, полюсы которых легко определяются, пользуясь при этом обычными правилами получения передаточной функции системы для различного соединения ее звеньев [85].

	Метод -преобразования	Метод Цыпкина-Гольденберга

В качестве элементарных звеньев системы удобно использовать интегрирующие звенья -го порядка. Для этого передаточную функцию (3.26) путем деления числителя и знаменателя на  нужно привести к виду

                    (3.60)

Это преобразование эквивалентно замене системы с передаточной функцией  системой с такой же передаточной функцией, но с другой структурой, включающей лишь интегрирующие звенья различного порядка с различными коэффициентами передачи, соединенные по схеме, которая показана на рис. 3.3. Звенья с передаточными функциями вида  имеют только нулевые полюсы кратности . Дискретные передаточные функции этих звеньев можно легко найти по формулам (3.30), (3.42) и (3.46), положив . Этим самым операторы непрерывного интегрирования заменяются операторами дискретного интегрирования. Операторы дискретного интегрирования, полученные различными методами для звеньев с передаточными функциями , даны в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Метод Рагаззини-Бергена (Мадведа-Траксела)	Метод Тастина	Метод Боксера-Талера

При таком расчленении системы на отдельные звенья не требуется знать полюсы передаточной функции.

Ниже описываются методы дискретной аппроксимации, использующие принцип замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования.