7. Метод Боксера—Талера [94]

Этот метод аппроксимации передаточной функции  непрерывной динамической системы дискретной передаточной функции  по своей идее отличается от описанных выше методов.

Переход от  и  по этому методу осуществляется из следующих соображений.

По методу -преобразования, как показано выше, передаточная функция эквивалентной импульсной системы имеет вид

,

где  - дискретные значения импульсной переходной характеристики  непрерывной системы.

Поскольку

,                         (3.63)

то, вычисляя интеграл (3.63) по методу прямоугольников с шагом , получим

.                   (3.64)

При малом  формулы (3.63) и (3.64) дают близкий результат. Сравнивая (3.64) и (3.25), видим, что передаточная функция  при малом шаге  приблизительно равна передаточной функции , если в ней переменную  заменить на :

или

.

Функция  — трансцендентная функция от . Требуется же получить дробно-рациональную функцию от . Для этого авторами метода предложено выразить операторы вида  входящие в передаточную функцию , через , используя известное [25] разложение  в ряд

,                 (3.65)

где

.

Согласно (3.65)

.                                                (3.66)

Выполняя деление в (3.66), получим

.                                   (3.67)

Ввиду быстрой сходимости ряда (3.67) можно пренебречь членами с положительными степенями , тогда

.

Приближенные выражения  для  получаются путем возведения ряда (3.67) в -ю степень и отбрасывания в результирующем ряде членов с положительными степенями . Эти выражения для  приведены в табл. 3.2.

Заметим, что аппроксимация в данном методе производится, по существу, в частотной области, а не во временной, как это было в описанных выше методах дискретной аппроксимации.

Итак, для получения дискретной передаточной функция по методу Боксера — Талера нужно заменить в передаточной функции , представленной в виде (3.60), операторы интегрирования  операторами Боксера — Талера из табл. 3.2.