8. Примеры

Пусть задана линейная система с передаточной функцией

.

Такую передаточную функцию имеет разомкнутая следящая система радиолокационного автодальномера с двумя интеграторами, коэффициент передачи которых , и корректирующей цепью с постоянной времени  — безразмерный коэффициент усиления. Найдем для нее эквивалентные дискретные передаточные функции и рекуррентные моделирующие алгоритмы, используя различные методы дискретной аппроксимации.

Передаточная функция  имеет только нулевой полюс кратности . По методу -преобразования нахождение дискретной передаточной функции  сводится к применению формулы (3.30) при  с учетом формулы (3.28) и табл. 3.1.

Согласно (3.28) получаем

,                               (3.68)

.

По формуле (3.30) находим

,                              (3.69)

где в соответствии с табл. 3.1

.                          (3.70)

Подставляя (3.68) и (3.70) в (3.69) и производя элементарные преобразования, окончательно получим

.                     (3.71)

Отсюда согласно общей формуле (3.24) непосредственно получаем рекуррентное уравнение, связывающее дискретный сигнал  на выходе системы с дискретным сигналом и  на входе системы

.                          (3.72)

Совершенно аналогично, используя формуле (3.42) и (3.46) с учетом формул (3.41), (3.45) и табл. 3.1, найдем дискретные передаточные функции по методу Цыпкина — Гольденберга:

,

             (3.73)

и по методу Рагаззини-Бергена:

                        (3.74)

Передаточным функциям (3.73) и (3.74) соответствуют следующие рекуррентные алгоритмы:

                                             (3.75)

                         (3.76)

Для использования метода Боксера — Талера  поделим числитель и знаменатель передаточной функции  на :

,

где . Заменив операторы интегрирования  и  соответствующими дискретными операторами интегрирования из табл. 3.2, запишем

.

После элементарных преобразований получим

,                   (3.77)

.                      (3.78)

Отсюда находим рекуррентный моделирующий алгоритм (3.76)

Если рассматривать замкнутую следующую систему автодальномера, то ее передаточная функция в линейном режиме имеет вид

.

Аналогичной формулой выражается дискретная передаточная функция импульсной системы, эквивалентной замкнутой непрерывной системе,

,                                     (3.79)

где  - дискретная передаточная функция разомкнутой системы.

Подставляя в формулу (3.79) выражения для , определяемые формулами (3.71), (3.73), (3.74) и (3.77), легко найдем дискретные передаточные функции замкнутой системы автодальномера при различных методах дискретной аппроксимации и соответствующие им рекуррентные алгоритмы.

Приведенные примеры показывают, что для линейных систем невысокого порядка, таких, как следящие системы радиоустройств, могут быть получены весьма простые рекуррентные цифровые модели. Действительно, согласно алгоритмам (3.72), (3.75), (3.76) и (3.78) для вычисления одного дискретного значения сигнала на выходе следящей системы автодальномера с двумя интеграторами требуется произвести всего лишь 6—8 элементарных операций. При этом количество операций не зависит от выбранного шага моделирования. Использование дискретной свертки в качестве алгоритма цифровой модели в данном случае потребовало бы  элементарных операций на одну дискрету, где  — номер дискреты. В самом деле, импульсная переходная характеристика разомкнутой системы согласно формуле (З.27) имеет вид

,                                      (3.80)

где  и  определяются формулой (3.68). Импульсную переходную характеристику (3.80) нельзя заменить ограниченной во времени. Поэтому вычисление выходного сигнала  по методу дискретной свертки нужно производить согласно алгоритму [см., например, (3.12)] , где . Отсюда следует, что в рассматриваемом случае для получения цифровой модели системы на основе дискретной свертки объем вычислений значительно больше, чем при моделировании с помощью рекуррентных цифровых моделей.