4. Некоторые аналитические оценки для контроля достоверности и точности результатов моделирования
Одним из важнейших вопросов при решении статистических задач методом цифрового моделирования является вопрос о выборе критерия оценки достоверности и точности получаемых результатов. При решении рассматриваемой задачи точность результатов можно проконтролировать методом сравнения с аналитическим решением. Сущность метода состоит в следующем.
Выбирается такой вариант входных параметров алгоритма, при которых исследуемая задача допускает достаточно простое аналитическое решение. Затем производится сравнение результатов аналитического решения с результатами решения на ЦВМ при тех же параметрах. В качестве меры погрешности выбирается величина расхождения этих результатов.
Аналитическое решение исследуемой здесь задачи легко получить квазистационарным методом [24] для случая, когда спектр модулирующего процесса значительна уже полосы пропускания приемника
, коэффициент амплитудной модуляции
и видеофильтр не вносит искажений, т. е.
. Действительно, при
качание частоты входного воздействия производится достаточно медленно и поэтому можно полагать, что переходные процессы в радиофильтре приемника, связанные с изменением частоты, не оказывают влияния на параметры огибающей выходного колебания. Последнее означает, что огибающую на выходе радиофильтра можно находить как и в случае стационарного (установившегося) режима, пользуясь его статической амплитудно-частотной характеристикой, т. е. по формуле
.
Отсюда выходное напряжение
равное напряжению
на выходе детектора, запишется в виде
,
где
в случае линейного и
в случае квадратичного детектора.
Найдем плотность вероятностей флюктуации
. Случайная величина
представляет собой функцию от случайной величины
с гауссовым законом распределения:
.
Используя известные способы нахождения плотности вероятностей функции от случайного аргумента, получим
.
В частности, при отсутствии расстройки 
(4.20)
Начальные моменты распределения флюктуации
в квазистационарном случае равны
(4.21)
Отсюда интенсивности флюктуации (мощность переменной составляющей) на выходе АМ приемника с линейным и квадратичным детектором соответственно выражаются в виде
(4.22)
(4.23)
Интересно сравнивать интенсивность флюктуации на выходе АМ приемника в квазистационарном случае при воздействии на входе колебаний с шумовой частотной модуляцией с интенсивностью флюктуации при воздействии стационарного нормального случайного процесса, мощности и энергетические спектры которых совпадают. Назовем воздействия, удовлетворяющие этому условию, спектрально эквивалентными.
Форма энергетического спектра колебания, модулированного по частоте нормальными флюктуациями, зависит, вообще говоря, от формы спектра модулирующего процесса. Однако в случаях, когда индекс частотной модуляции
, влияние формы энергетического спектра модулирующего шума практически незначительно и высокочастотный спектр частотно-модулированного колебания (исключая внеполосное излучение) хорошо аппроксимируется своей асимптотической кривой, полученной при
, которая представляет собой гауссову кривую с вершиной в точке )
[14]. При этом ширина спектра (на уровне
) равна
. Для сравнения ограничимся случаем
и предположим, что энергетический спектр прямошумового воздействия совпадает с асимптотическим спектром частотно-модулированных колебаний и оба воздействия одинаковы по мощности. Дисперсии флюктуации на выходе радиофильтра приемника при спектрально эквивалентных воздействиях будут, очевидно, одинаковыми и равны величине
, где
— среднее значение квадрата огибающей колебания на выходе радиофильтра, определяемое формулой (4.21) при
, л=2. Поскольку огибающая колебания на выходе радиофильтра при прямошумовом воздействии распределена по закону Релея с параметром
, то интенсивность прямошумовых флюктуации на выходе приемника с линейным и квадратичным детекторами, равная соответственно дисперсии релеевской амплитуды и дисперсии квадрата релеевской амплитуды, выражается в виде
(4.24)
(4.25)
Рассмотрим теперь воздействие ЧМ шумового колебания на ЧМ приемник в квазистационарном случае.
При прямоугольной аппроксимации амплитудно-частотной характеристики радиофильтра напряжение на выходе ЧМ приемника с линейным (квадратичным) детектором в квазистационарном случае будет, очевидно, принимать только два значения:
при попадании частоты входного колебания в полосу пропускания приемника и
— в противном случае, где
— коэффициенты передачи радиофильтра, линейного детектора и квадратичного детектора соответственно,
— амплитуда входного колебания.
Поскольку принято
. Следовательно, в рассматриваемом случае функции плотности флюктуации на выходе ЧМ приемника с линейным и квадратичным детекторами будут одинаковыми и равными
, (4.26)
где
— вероятность того, что мгновенная частота входного колебания окажется в полосе приемника;
— дельта-функция.
При модуляции нормальным шумом величина
, как легко видеть, выражается формулой
,
где
— функция Лапласа.
Интенсивность флюктуации, распределение которых подчинено закону (4.26), равна

Поскольку
, то отношение выходной мощности ЧМ шумовых флюктуации в квазистационарном случае к выходной мощности спектрально эквивалентных прямошумовых флюктуации при линейном и квадратичном детекторах соответственно равно
. (4.27)
Полученные аналитические результаты позволяют осуществить контроль правильности решения задачи способом цифрового моделирования.