4. Некоторые аналитические оценки для контроля достоверности и точности результатов моделирования

Одним из важнейших вопросов при решении статистических задач методом цифрового моделирования является вопрос о выборе критерия оценки достоверности и точности получаемых результатов. При решении рассматриваемой задачи точность результатов можно проконтролировать методом сравнения с аналитическим решением. Сущность метода состоит в следующем.

Выбирается такой вариант входных параметров алгоритма, при которых исследуемая задача допускает достаточно простое аналитическое решение. Затем производится сравнение результатов аналитического решения с результатами решения на ЦВМ при тех же параметрах. В качестве меры погрешности выбирается величина расхождения этих результатов.

Аналитическое решение исследуемой здесь задачи легко получить квазистационарным методом [24] для случая, когда спектр модулирующего процесса значительна уже полосы пропускания приемника , коэффициент амплитудной модуляции  и видеофильтр не вносит искажений, т. е. . Действительно, при  качание частоты входного воздействия производится достаточно медленно и поэтому можно полагать, что переходные процессы в радиофильтре приемника, связанные с изменением частоты, не оказывают влияния на параметры огибающей выходного колебания. Последнее означает, что огибающую на выходе радиофильтра можно находить как и в случае стационарного (установившегося) режима, пользуясь его статической амплитудно-частотной характеристикой, т. е. по формуле

.

Отсюда выходное напряжение  равное напряжению  на выходе детектора, запишется в виде

,

где  в случае линейного и  в случае квадратичного детектора.

Найдем плотность вероятностей флюктуации . Случайная величина  представляет собой функцию от случайной величины  с гауссовым законом распределения:

.

Используя  известные  способы  нахождения плотности  вероятностей функции от случайного аргумента, получим

.

В частности, при отсутствии расстройки

                     (4.20)

Начальные моменты распределения флюктуации  в квазистационарном случае равны

                               (4.21)

Отсюда интенсивности флюктуации (мощность переменной составляющей) на выходе АМ приемника с линейным и квадратичным детектором соответственно выражаются в виде

                                (4.22)

               (4.23)

Интересно сравнивать интенсивность флюктуации на выходе АМ приемника в квазистационарном случае при воздействии на входе колебаний с шумовой частотной модуляцией с интенсивностью флюктуации при воздействии стационарного нормального случайного процесса, мощности и энергетические спектры которых совпадают. Назовем воздействия, удовлетворяющие этому условию, спектрально эквивалентными.

Форма энергетического спектра колебания, модулированного по частоте нормальными флюктуациями, зависит, вообще говоря, от формы спектра модулирующего процесса. Однако в случаях, когда индекс частотной модуляции , влияние формы энергетического спектра модулирующего шума практически незначительно и высокочастотный спектр частотно-модулированного колебания (исключая внеполосное излучение) хорошо аппроксимируется своей асимптотической кривой, полученной при , которая представляет собой гауссову кривую с вершиной в точке )  [14]. При этом ширина спектра (на уровне ) равна . Для сравнения ограничимся случаем  и предположим, что энергетический спектр прямошумового воздействия совпадает с асимптотическим спектром частотно-модулированных колебаний и оба воздействия одинаковы по мощности. Дисперсии флюктуации на выходе радиофильтра приемника при спектрально эквивалентных воздействиях будут, очевидно, одинаковыми и равны величине , где  — среднее значение квадрата огибающей колебания на выходе радиофильтра, определяемое формулой (4.21) при , л=2. Поскольку огибающая колебания на выходе радиофильтра при прямошумовом воздействии распределена по закону Релея с параметром , то интенсивность прямошумовых флюктуации на выходе приемника с линейным и квадратичным детекторами, равная соответственно дисперсии релеевской амплитуды и дисперсии квадрата релеевской амплитуды, выражается в виде

                       (4.24)

                (4.25)

Рассмотрим теперь воздействие ЧМ шумового колебания на ЧМ приемник в квазистационарном случае.

При прямоугольной аппроксимации амплитудно-частотной характеристики радиофильтра напряжение на выходе ЧМ приемника с линейным (квадратичным) детектором в квазистационарном случае будет, очевидно, принимать только два значения:  при попадании частоты входного колебания в полосу пропускания приемника и  — в противном случае, где  — коэффициенты передачи радиофильтра, линейного детектора и квадратичного детектора соответственно,  — амплитуда входного колебания.

Поскольку принято . Следовательно, в рассматриваемом случае функции плотности флюктуации на выходе ЧМ приемника с линейным и квадратичным детекторами будут одинаковыми и равными

,                             (4.26)

где  — вероятность того, что мгновенная частота входного колебания окажется в полосе приемника;  — дельта-функция.

При модуляции нормальным шумом  величина , как легко видеть, выражается формулой

,

где  — функция Лапласа.

Интенсивность флюктуации, распределение которых подчинено закону (4.26), равна

Поскольку , то отношение выходной мощности ЧМ шумовых флюктуации в квазистационарном случае к выходной мощности спектрально эквивалентных прямошумовых флюктуации при линейном и квадратичном детекторах соответственно равно

.                                    (4.27)

Полученные аналитические результаты позволяют осуществить контроль правильности решения задачи способом цифрового моделирования.