5.6.2. Синтез фильтров с разделимым знаменателем

Разделимые фильтры, представляя собой прямое произведение двух одномерных фильтров, обладают рядом достоинств, проявляющихся как при синтезе, так и при реализации. В работах [13, 29] был предложен интересный компромиссный подход, в котором используется комбинация неразделимого полинома-числителя с разделимым полиномом-знаменателем. Это сохраняет значительную долю гибкости синтеза неразделимых систем и в то же время обеспечивает преимущества реализации, присущие разделимым БИХ-фильтрам.

Частотный отклик двумерного фильтра с разделимым знаменателем имеет вид

.                                                         (5.158)

Мы можем рассматривать отклик  как отклик каскада, состоящего из двумерного неразделимого КИХ-фильтра  и двумерного разделимого БИХ-фильтра  без нулей. Поскольку по мере увеличения числа свободных параметров  может аппроксимировать требуемый частотный отклик сколь угодно точно, то и отклик  можно использовать для сколь угодно точной аппроксимации . Введение члена  можно рассматривать как попытку улучшения аппроксимации способом, влекущим за собой более эффективную с вычислительной точки зрения реализацию, чем просто увеличение числа свободных параметров многочлена .

Фильтры с разделимым знаменателем обладают с точки зрения их реализации некоторыми преимуществами. Если пренебречь числителем, который можно реализовать отдельно в виде КИХ-фильтра, то оставшаяся часть фильтра представляет собой разделимый фильтр с частотным откликом в виде . Реализацию этой части фильтра можно выполнить с помощью набора одномерных сверток (реализуемых разностным уравнением), выполняемых над строками входного сигнала, за которым следует другой набор одномерных сверток над столбцами результирующего сигнала. Полная реализация фильтра с разделимым знаменателем, как показано на рис. 5.27, имеет вид

,                              (5.159а)

,                          (5.159б)

.                        (5.159в)

Рис. 5.27. Каскадная реализация фильтра  с разделимым знаменателем.

Выражение (5.159а) представляет собой реализацию отклика знаменателя . Хотя оно записано в форме непосредственной свертки, здесь можно использовать любой подходящий алгоритм реализации КИХ-фильтров (гл. 3). Выражение (5.159б) описывает набор одномерных операций фильтрации по строкам, а выражение (5.159в) - одномерных операций фильтрации по столбцам. С целью повышения производительности одномерные операции фильтрации в каждом наборе можно выполнять параллельно, используя многопроцессорную систему.        

Поскольку выражения (5.159) и рис. 5.27 описывают схему, которую можно рассматривать как каскад из трех фильтров, порядок следования этих фильтров можно изменить, не изменяя результирующий частотный отклик. Предпочесть какой-то один порядок другим могут заставить практические соображения, например снижение шума округления.

Частотный отклик фильтра с разделимым знаменателем, выраженный через параметры фильтра , имеет вид

,                  (5.160)

где . Естественно, полином-знаменатель можно представить в виде произведения двух одномерных полиномов, однако запись, использованная в выражении (5.160), удобнее в дальнейших рассуждениях. Поскольку знаменатель должен быть разделимым, число свободных параметров знаменателя, определяемых при проектировании, уменьшается от  до . С другой стороны, задача синтеза становится более нелинейной вследствие того, что перемножаются свободные параметры  в выражении (5.160). Поэтому алгоритм оптимизации потребует решения задачи минимизации с меньшим числом параметров, но более нелинейной.

Шоу и Мерсеро [13] разработали метод синтеза фильтров с разделимым знаменателем, в котором минимизируется ошибка  в пространственной области. Их алгоритм проектирования является вариантом итерационного метода с предварительной фильтрацией (разд. 5.4.3), видоизмененного так, чтобы учесть дополнительную нелинейность, внесенную разделимым знаменателем. Вспомним, что в соответствии с итерационным методом проектирования с предварительной фильтрацией мы стремимся минимизировать ошибку в пространственной области

,           где                                                                             (5.161)

.               (5.162)

Последовательность  получается в результате обратного преобразования Фурье функции . В случае разделимого знаменателя , так что  и . Для упрощения рассуждений примем, что входной сигнал  представляет собой двумерную дельта-функцию. Тогда выражение (5.162) преобразуется следующим образом:

.                       (5.163)

Если предположить, как в разд. 5.4.3, что  и  - константы, то частные производные от  по коэффициентам числителя  будут иметь вид

,                                                                               (5.164)

а частные производные по коэффициентам знаменателя - вид

,       (5.165а)

.        (5.165б)

Поскольку  и  зависят от  и  соответственно, то уравнения, полученные дифференцированием  и приравниванием нулю полученных производных, будут по-прежнему нелинейными. Шоу и Мерсеро [13] устраняют эту проблему, используя для вычисления частных производных в выражениях (5.165) значения , полученные на предыдущей итерации. Последовательности  и  также вычисляются с помощью предыдущих значений  путем одномерных итераций

,                 (5.166a)

.                       (5.166б)

Как уже отмечалось в разд. 5.4.3, вычисление частных производных в предположении, что  или, в нашем случае, ,  - константы, приводит к тому, что градиент ошибки отличен от нуля. Как и в случае неразделимого фильтра, после того, как первичные итерации закончены, можно перейти к этапу вторичных итераций. На этом этапе частные производные в выражениях (5.165) заменяются на

,                                      (5.167а)

,                                     (5.167б)

где  - результат обратного преобразования Фурье функции

,                                              (5.168а)

a  - результат обратного преобразования Фурье функции

.                                              (5.168б)

Ввиду разделимости полинома-знаменателя проверка устойчивости фильтра выполняется просто путем проверки устойчивости двух одномерных БИХ-фильтров  и .

Пример 2 [13]

Для аппроксимации КИХ-фильтра нижних частот из примера 1 в конце разд. 5.4.3 был спроектирован квадрантный фильтр с симметричным разделимым полиномом-знаменателем . Числитель одноквадрантного фильтра имел 25 независимых параметров, а знаменатель был ограничен четырьмя независимыми параметрами. После 13 первичных итераций ошибка составляла ; после трех первичных итераций и восьми вторичных - немного менее . Было высказано предположение, что ошибка отличается столь незначительно из-за того, что из 29 параметров лишь на четыре повлияло использование выражений (5.165) вместо (5.167) [13]. Полный четырехквадрантный частотный отклик имел пульсации полосы пропускания 0,0034, пульсации полосы непропускания 0,021, а ширину переходной полосы .