5.6. Методы синтеза некоторых специальных схем

В этом разделе мы изучим три метода синтеза; предназначенные для трех специальных видов реализации - каскадных фильтров, фильтров с разделимым знаменателем и решетчатых фильтров. В силу отсутствия основной теоремы алгебры для многомерных полиномов алгоритмы синтеза обычно приходится приспосабливать к требованиям конкретных реализаций. В последующих разделах мы познакомимся с тремя примерами специальных алгоритмов синтеза.

5.6.1. Синтез каскадных фильтров

Как было показано в гл. 3, каскадные схемы в двух измерениях следует рассматривать отдельно. Каскадная реализация предполагает формулировку задачи синтеза в каскадной форме. Например, можно потребовать, чтобы частотный отклик проектируемого фильтра имел вид

,                                                                     (5.155)

где  - полный коэффициент усиления и

.                        (5.156)

Обычно значения , ,  и  невелики (равны 2 или 3), a  и  нормализованы к единице [28]. Соответственно каждый множитель  будет иметь не более 16 свободных параметров, а полный частотный отклик - не более  свободных параметров. Для уменьшения числа параметров можно также наложить различные ограничивающие условия, например условие симметрии или условие постоянного числителя.

Если  имеет вид выражения (5.155), то очевидна постановка задачи минимизации  или , которая решается с помощью процедур оптимизации, описанных в предыдущих разделах. Например, Мариа и Фахми [28] использовали для решения задачи аппроксимации оптимизацию типа ньютоновской с функционалом ошибки в виде

.                                                  (5.157)

Каскадная форма имеет определенные преимущества, важные для некоторых практических применений. Во-первых, как и в одномерном случае, частотный отклик двумерного БИХ-фильтра с каскадной структурой менее чувствителен к возмущениям коэффициентов, чем при прямой форме организации. Во-вторых, поскольку проверка устойчивости фильтров низкого порядка, входящих в каскад, относительно проста [28], такую проверку можно включить в процедуру синтеза. Наконец, оптимизацию можно выполнить по ступеням. На каждой итерации коэффициенты всех последовательных фильтров, кроме одного, считаются постоянными, а коэффициенты оставшегося фильтра варьируются с целью уменьшения функционала . На следующей итерации варьируются коэффициенты другого фильтра.

Реализация каскадных фильтров выполняется методами, описанными в разд. 5.1.2.