5.5.5. Частотные преобразования

В интересах полноты обсудим кратко некоторые простые преобразования в частотной области, с помощью которых выполняется отображение одномерных и двумерных БИХ-фильтров на другие двумерные БИХ-фильтры. Эти преобразования могут оказаться полезными при синтезе фильтров нижних и верхних частот, а также полосовых и многополосовых фильтров. Читателя, интересующегося деталями, можно отослать к работам [26, 27].

Обсуждение этих преобразований удобнее всего провести, используя обозначение передаточной функции

,                                           (5.143)

где  и  - двумерные полиномы. Целью частотных преобразований является отображение устойчивой рациональной передаточной функции на другую устойчивую рациональную передаточную функцию. В общем случае проектировщику фильтра хотелось бы также сохранить некоторые из характеристик фильтра-прототипа, например ослабление в полосе затухания и пульсации в полосе пропускания, но изменить другие характеристики, например расположение и число полос пропускания.

Для преобразования одномерного БИХ-фильтра-прототипа  в двумерный БИХ-фильтр , можно выполнить подстановку

.                                           (5.144)

Тогда

.                       (5.145)

Чтобы фильтр  был устойчив, необходима устойчивость  и  [26, 27]. Кроме того, мы хотим отобразить единичный круг  на частотную плоскость . В результате амплитуда функции  будет удовлетворять равенству

.                                              (5.146)

Таким образом, функция отображения  должна описывать устойчивый фильтр с пропусканием на всех частотах.

Чакрабарти и Митра [27] указали, что единственное допустимое преобразование для отображения одномерных БИХ-фильтров на двумерные БИХ-фильтры имеет вид

,                                     (5.147)

где  и  - положительные рациональные числа. Рассмотрим, например, простой одномерный БИХ-фильтр

,                               (5.148)

с импульсным откликом

,                                             (5.149)

где  - одномерная ступенчатая функция.

Воспользуемся теперь преобразованием

                                       (5.150)

для получения двумерного БИХ-фильтра

.                              (5.151)

Выполнив двумерное обратное -преобразование функции , получим импульсный отклик в виде

 и .                     (5.152)

На рис. 5.25 показаны импульсные отклики  и .

Рис. 5.25. Преобразование  отображает  (а) на  (б).

В общем случае двумерно-двумерное преобразование характеризуется двумя функциями отображения:

, .                                                                      (5.153)

Обе функции  и  должны описывать двумерные стабильные фильтры с полным пропусканием. В общем случае фильтры первого квадранта будут иметь вид

 для .                 (5.154)

Синтез  и  для требуемого частотного преобразования является непростой задачей, даже если  и  невелики [26].

Общее преобразование можно упростить и специализировать, если принять, что  не зависит от , a  - от . Тогда преобразование принимает вид

, .

В этом случае оси частот масштабируются независимо.  и  можно определить, отобразив небольшое число точек частотной плоскости (обычно одну или две в зависимости от порядка преобразования) [26]. В общем случае преобразование такого рода можно рассматривать как наложение на частотный отклик с двойной периодичностью  окна, размер которого определяется порядком  и . В зависимости от значений параметров функций  и  отклик  может локально растягиваться или сжиматься, а центр окна может располагаться в точках , ,  или . На рис. 5.26 представлен двумерный фильтр нижних частот с круговой симметрией, который с помощью функции  третьего порядка и функции  второго порядка преобразован в многополосный фильтр.

Рис. 5.26. Двумерный фильтр нижних частот с круговой симметрией (а), преобразованный в многополосный фильтр (б).

Для преобразования используется функция третьего порядка  и функция второго порядка , соответствующие фильтрам с полным пропусканием. Заштрихованные области обозначают полосы пропускания.