6.1.1. Элементарные сигналы

Элементарные сигналы вида

                                                                               (6.2)

представляют собой плоские волны. Используя четырехмерное преобразование Фурье

,                               (6.3)

легко убедиться, что любой сигнал  можно представить как суперпозицию плоских волн. Определив вектор  в виде

,                                                                                                       (6.4)

можно записать выражение (6.2) следующим образом:

.                                                                       (6.5)

Таким образом, функцию  можно рассматривать как плоскую волну, распространяющуюся в направлении  со скоростью, равной . Поскольку величина  обратна величине скорости распространения, то вектор  иногда называют вектором замедленности.

Выполнив преобразование Фурье (6.1) элементарного сигнала , получим

,                                                                 (6.6)

представляющий собой четырехмерный импульс (дельта-функцию Дирака) в пространстве  в точке  и . Таким образом, каждая точка пространства  соответствует плоской волне в пространстве  с определенной ориентацией и частотой [2, 3].

Рассмотрим упрощенные изображения пространства  на рис. 6.1. Переменная  представляется вертикальной осью, а переменные  и  - горизонтальной плоскостью. (Для упрощения рисунков мы на время пренебрегаем переменной .) Из рис. 6.1,а видно, что все компоненты сигнала при одной и той же частоте  лежат в плоскости, параллельной плоскости . Компоненты сигнала с одной и той же скоростью распространения  будут лежать на поверхности конуса, как показано на рис. 6.1,б, поскольку . Компоненты сигнала, распро-

страняющиеся в одном и том же направлении, расположены на полуплоскости, перпендикулярной плоскости , поскольку направление распространения указывается направлением вектора  (рис. 6.1,в). В некоторых случаях нас также будут интересовать сигналы, лежащие на пересечении этих поверхностей. Например, компоненты сигнала с одной и той же скоростью и одним и тем же направлением распространения лежат на линии, образованной пересечением конуса, изображенного на рис. 6.1,б, и полуплоскости, изображенной на рис. 6.1,в.

Рис. 6.1. Расположение точек в -пространстве, соответствующее сигналам с одинаковыми частотой  (а), скоростью (б) и направлением (в) распространения