6.3.3. Формирование луча в частотной области для сигналов с дискретным временем

Нетрудно вывести уравнение для формирователя луча в частотной области с использованием дискретизованных по времени сигналов приемников. Как и прежде, пусть  представляет собой -й отсчет сигнала -го приемника, но для краткости обозначения положим . Дискретный по времени выход формирователя луча в частотном пространстве описывается выражением

,                                           (6.71)

которое аналогично формуле (6.42). Дискретное текущее преобразование Фурье дается соотношением [8]

,                                                   (6.72)

где  является импульсным откликом узкополосного цифрового фильтра низких частот. Будем считать, что  для значений , лежащих вне интервала .

Множитель  в выражении (6.71) можно эффективно вычислить для большого числа значений  с помощью алгоритма одномерного БПФ [8]. Например, если положить  для , то можно записать

         (6.73)

За исключением знака в экспоненте, эта формула выглядит так же, как -точечное ДПФ. которое можно вычислить с помощью алгоритма БПФ, если число  является степенью числа 2.

Выход дискретного формирователя луча в частотном пространстве можно вычислить с помощью формулы (6.71). Поскольку луч сформирован в частотном пространстве, задержки наведения  не должны квантоваться. Однако в частном случае линейной решетки с равномерно расположенными приемниками, когда задержки наведения имеют вид

,                                                                                                   (6.74)

выражение (6.71) превращается в формулу

.             (6.75)

За исключением знака в экспоненте, выражение в скобках имеет форму одномерного ДПФ по индексу приемника .

Для этого частного случая выход дискретного формирователя луча в частотном пространстве можно вычислить, непосредственно применив двумерное ДПФ к сигналам приемника  [9]. Подставляя (6.73) в (6.75), получим

.                       (6.76)

Теперь, если определить двумерную последовательность

,                                                                                     (6.77)

где на время зафиксировать , и обозначить через  -точечное ДПФ последовательности , то можно получить

.                                                                        (6.78)

Обозначение  не указывает явно на направление, по которому наведен луч. Ограничение, что задержки наведения  должны удовлетворять соотношению (6.74), означает, что -компонента выбранного вектора замедленности описывается выражением

.                                                                                                (6.79)

Величины ,  и расстояния между приемниками  фиксированы, однако частотный индекс  может изменяться в пределах  в зависимости от интересующей нас полосы частот. Использование ДПФ приводит к ограничению возможных направлений наведения величиной  в соответствии со значениями , изменяющимися в пределах .

Используя двумерное ДПФ, мы одновременно вычисляем выходы дискретного формирователя луча в частотной области для  значений частотного индекса  и  значений индекса наведения . Наши попытки извлечь компоненты сигнала, фильтруя  с помощью формирователя луча в частотной области, приводят к формулировке, которая отделяет компоненты сигнала с помощью двумерного преобразования Фурье. В разд. 6.5 мы рассмотрим метод оценки многомерного спектра мощности . В этом случае формула (6.78) является «мостиком», связывающим подход формирования луча с методом оценки спектра выделения энергии, переносимой распространяющимися в пространстве волнами.