6.5.5. Задача продолжения

В разд. 6.5.4 обсуждалась задача определения, соответствует или не соответствует набор значений  отсчету некоторой автокорреляционной функции. Эта задача была названа «задачей продолжения», и в одномерном случае к ней можно было подойти, записав тёплицеву матрицу из известных значений коэффициентов корреляции и исследовав ее на положительную определенность. К сожалению, этот подход неприемлем в двумерном случае. Задача продолжения конечного набора отсчетов многомерной корреляционной функции в более общей постановке исследовалась Лэнгом и Мак-Клелланом [36]. Мы кратко обрисуем их подход для двумерного случая, когда отсчеты  заданы на прямоугольнике , .

Набор отсчетов  может быть дополнен двумерной автокорреляционной функцией, если отсчет можно записать в виде

,                           (6.211)

где  - неотрицательная вещественная функция. Не вдаваясь в детали, рассмотрим подход, когда набор  допускающих дополнение корреляционных отсчетов может быть описан с помощью скалярного произведения. Введем вектор , где . Для каждого вектора  можно определить тригонометрический полином с вещественными коэффициентами

.                                  (6.212)

Будем использовать несколько нечеткий, но зато емкий термин, что вектор  «положителен» тогда и только тогда, когда полином  неотрицателен [36]. Можно показать, что вектор  допускает дополнение в том и только в том случае, если

                                                 (6.213)

для всех «положительных» векторов  [36].

Из этого описания набора допускающих дополнение функций через скалярное произведение Лэнгом и Мак-Клелланом [36]  был выведен тест на дополнимость. В основе теста лежит решение следующей оптимизационной задачи с ограничениями: пусть

,                                                          (6.214)

где  - «положительный» вектор, удовлетворяющий линейным ограничениям

.                                                                 (6.215)

Вектор  состоит из набора коэффициентов корреляции, о котором известно, что он допускает дополнение. В частности, мы можем взять в качестве вектора  вектор, соответствующий белому шуму

,                                                (6.216)

так что равенство (6.215) превращается просто в равенство . Если , коэффициенты корреляции  допускают дополнение.

Упражнения

6.1. Пусть у нас имеется сигнал .

а)      Представьте  как функцию  при .

б)      Чему равно расстояние  вдоль оси  между последовательными положительными пиками ?

в)      Начертите  как функцию  при . Пусть  обозначает величину, на которую должен быть сдвинут этот график, чтобы он совпал с графиком, построенным в п. «а». Чему равно значение , выраженное через величины  и ; через величины  и ?

6.2. Пусть  - распространяющийся в пространстве такой сигнал, что

.

а)      Каково наименьшее положительное значение такого вектора , что  для фиксированного значения , скажем ? Величина  называется длиной волны .

б)      Найдите выражение для  через величины ,  и . Величина  была определена в упр. 6.1, п. «б»; аналогичным образом определяются и величины  и .

в)      Скорость распространения  можно определить как длину волны , поделенную на время, необходимое для того, чтобы один период волны прошел через фиксированную точку, скажем . Каково минимальное положительное значение , для которого ? Как запишется  через величины  и ; через величины  и ?

г)      Значение , полученное в упр. 6.1, п. «в», называется фазовой скоростью в направлении . Выведите выражение для скорости распространения  через величины ,  и .

6.3. Предположим, что плоская волна проходит через четырехмерный линейный инвариантный к сдвигу фильтр с импульсным откликом . Покажите, что выходом является плоская волна, распространяющаяся в том же направлении и с той же частотой.

6.4. Рассмотрим решетки датчиков, приведенные на рис. У6.4. Все веса датчиков равны единице.

Рис. У6.4.

а)      Найдите диаграмму направленности для каждой из решеток. (Правильный выбор положения начала пространственных координат упростит ваши выкладки.)

б)      Найдите задержки для каждого элемента для наведения каждой из решеток в направлении .

6.5. Рассмотрим решетку датчиков, изображенную на рис. У6.5. Она содержит пять датчиков, расположенных по оси  на расстоянии  друг от друга.

Рис. У6.5.

а)      Постройте диаграмму направленности, приняв вес каждого датчика равным единице.

б)      Может ли решетка различить два распространяющихся в пространстве сигнала, направления распространения которых заданы единичными векторами  и ? Объясните свой ответ.

в)      Предположим, что добавлен шестой датчик с координатами . Какова будет новая диаграмма направленности?

г)      Пусть решетка из шести датчиков построена для пропускания элементарного сигнала вида  с волновым вектором . Каков будет отклик на сигнал ; на сигнал ?

6.6. Обычно существует несколько форм записи расположения датчиков, образующих решетку в пространстве. Рассмотрим решетку, изображенную на рис. У6.6. Датчики расположены в точках  и .

Рис. У6.6.

а)      Постройте диаграмму направленности, принимая вес каждого датчика равным единице.

б)      Решетка, показанная на рис. У6.6, представляет собой пример «нарушенной решетки», т. е. регулярной решетки, в которой недостает части датчиков. Следовательно, эту решетку можно рассматривать как регулярную взвешенную решетку с  для  и  для . С другой стороны, мы можем рассматривать диаграмму этой решетки как разность двух диаграмм решеток с весами  только для  и  только для . Постройте диаграмму направленности, используя каждый из этих альтернативных подходов.

в)      Нарушенную решетку можно представить как решетку из двух подрешеток по пять датчиков в каждой. Постройте диаграмму направленности для одной из этих подрешеток. Какой будет суммарная диаграмма направленности, если каждую из подрешеток заменить на один всенаправленный датчик? Какой будет суммарная диаграмма направленности для случая двух подрешеток? Постройте результирующую диаграмму направленности.

6.7. Предположим, что имеется плоская поверхность датчиков, лежащих в узлах правильного прямоугольного растра, например как на рис. У6.7. Каким условиям должны удовлетворять веса датчиков, чтобы формирователь луча по принципу взвешенного суммирования и задержки имел разделимую диаграмму направленности?

Рис. У6.7.

6.8. Предположим, что дана решетка из  датчиков, расположенных в  при . Диаграмма направленности описывается выражением

.

а)      Предположим, что решетка смещена, т. е. -й датчик расположен теперь в точке . Какой будет новая диаграмма направленности? Как она связана с приведенной выше формулой?

б)      Предположим, что решетка растянута в  раз, так что координатами датчиков теперь стали . Как новая диаграмма направленности будет связана с ?

в)      Пусть коэффициент растяжения различен для каждого из направлений, например положения датчиков будут . Как будет записываться новая диаграмма направленности?

6.9. Покажите, что эффективный отклик по волновому вектору и частоте  для формирователя луча по принципу фильтрации с суммированием описывается выражением

.

6.10. В разд. 6.2.6 было выведено преобразование Фурье для формирователя луча по принципу фильтрации с суммированием. Компонента выхода формирователя при частоте  описывается соотношением

.

Можно построить вариант формирователя луча по принципу фильтрации с суммированием для частотного пространства, если аппроксимировать  в записанном выше выражении текущим преобразованием Фурье

,

где

.

а)      Запишите дискретные по времени варианты формулы для  и .

б)      Принимая, что задержки наведения имеют вид , выведите формулу для  через ,  и .

в)      Объясните, как  можно эффективно реализовать с помощью одномерного БПФ. Чем эта реализация отличается от реализации , выведенной в разд. 6.3.3?

6.11. Покажите, что выход формирователя луча в частотной области

можно выразить через спектр в координатах волновое число - частота в следующем виде:

.

6.12. Рассмотрим двумерную  решетку дискретного во времени формирователя луча, изображенную на рис. У6.12. Веса всех приемников равны единице. Луч наведен так, что , где  - интервал дискретизации. Как будет выглядеть диаграмма направленности этой решетки?

Рис. У6.12.

6.13.

а)      Изобразите блок-схему формирователя с дискретизацией по времени, в котором до формирования выполняется интерполяция.

б)      Постройте блок-схему формирователя с дискретизацией по времени, в котором используется интерполяция после формирования луча.

в)      Допустим, что и повышение, и понижение частоты дискретизации происходит в   раз, и пусть протяженность импульсных откликов фильтров, использованных в сочетании с интерполяцией, будет составлять  отсчетов. Сравните вычислительную сложность и необходимый объем памяти для этих двух формирователей луча, если решетка содержит  приемников.

6.14.      Предположим, что имеются следующие отсчеты двумерной автокорреляционной функции:

, , , ,

где  и  - параметры с вещественными значениями. Вычислите периодограмму оценки спектра мощности .

6.15.      В этом упражнении необходимо найти оценку спектра с высоким разрешением для тех же коэффициентов автокорреляции, что и в упр. 6.14. В частности, пусть

, , , ,

где  и  - параметры с вещественными значениями.

а)      Запишите матрицу , определяемую уравнением (6.159).

б)      Вычислите обратную матрицу . Эта матрица имеет вид

,

где , ,  и  - переменные с вещественными значениями.

в)      Запишите спектральную оценку с высоким разрешением

,

где  заданы уравнением (6.157).

6.16. В этом упражнении вычисляется чисто полюсная оценка спектра для тех же значений коэффициентов автокорреляции, что и в упр. 6.14 и 6.15. Пусть

, , , ,

где  и  - параметры с вещественными значениями.

а)      Вычислите чисто полюсную оценку спектра  в первом квадранте.

б)      Вычислите чисто полюсную оценку спектра  во втором квадранте. Чем она отличается от ?

в)      Вычислите  согласно уравнению (6.195). (Указание. Используйте матрицы  и , выведенные в упр. 6.15.)

6.17. В этом упражнении рассматривается вопрос о дополнимости. Предположим, что у нас имеются следующие отсчеты двумерной функции:

, ,

,

где  - параметр с вещественным значением. Спрашивается, какие значения  согласуются с существованием двумерной автокорреляционной функции?

а)      Сформулируйте задачу минимизации

при ограничении , где  - «положительный» вектор.

Для простоты примите, что коэффициенты  - вещественные и симметричные. [Заметим, что благодаря принятой симметрии нам необходимо рассмотреть только коэффициенты , ?  и .]

б)      Положительный полином  имеет вид

.

Проверьте, что  для двух случаев:

1)      , ,

2)      , .

[Указание. Проверьте разделимость .]

в)      Какие условия необходимо наложить на , чтобы обеспечить выполнение неравенства ; чтобы обеспечить выполнение неравенств

,  и ?

г)      Решив уравнения пп. «б» и «в», вы получите возможность выполнить минимизацию, сформулированную в п. «а», имея в виду, что коэффициенты  должны соответствовать неотрицательному полиному . Какими будут ограничения на параметр , с тем чтобы минимальное значение  было неотрицательным? (Рассмотрите как положительные, так и отрицательные значения .)

6.18. Предположим, что известные отсчеты заданы следующим образом:

, ,

где  - параметр, имеющий вещественные значения. (В противоположность упр. 6.17, где были заданы девять отсчетов, здесь известны только пять.)

а)      Как и в упр. 6.17, п. «а», сформулируйте минимизацию , принимая во внимание, что .

б)      Напишите выражение для положительного полинома , приняв, что  и . Будет ли он таким же, как в упражнении 6.17, п. «б»?

в)      Какие ограничения следует наложить на  и  для обеспечения выполнения неравенства ?

г)      Какие ограничения следует наложить на параметр , чтобы минимальное значение  было неотрицательным?