Глава 7. Обратные задачи

Большое число физических задач можно описать моделью вида

,                 (7.1)

где  - искажающий оператор, действующий на входную последовательность  и дающий выходную последовательность . Эта задача может выглядеть по-разному в зависимости от того, что известно и что необходимо определить. Если входной сигнал и искажающий оператор известны, а выходной сигнал необходимо определить, то задача относится к классу задач реализации системы. Реализация систем была основным предметом рассмотрения в первых шести главах. Если известны вход и выход и необходимо определить искажающий оператор, то задача относится к классу задач идентификации системы. Наконец, задача, в которой необходимо определить входной сигнал по известному искаженному выходному, известна как обратная задача (среди обычных примеров обратных задач можно указать задачи подавления шума, обращения свертки и экстраполяции сигнала).

В этой главе рассматривается несколько примеров обратных задач. Наш подход не будет исчерпывающим, да такой подход и невозможен. Мы попытаемся лишь рассмотреть возможные подходы, которые оказались полезными при решении некоторых многомерных и одномерных обратных задач. Наш подход позволит также использовать некоторый материал предыдущих глав.

Начнем с рассмотрения итерационных методов ограниченного восстановления сигнала при наличии ограничений. Привлечение ограничений часто необходимо для уменьшения числа возможных решений, поскольку многие обратные задачи не имеют единственного решения. Для ряда итерационных процедур это можно сделать достаточно просто. Мы рассмотрим задачу миграции сейсмических волн, в которой сделаем попытку устранить искажения волнового фронта, вызванные самим процессом распространения волны. Одним из подходов является математическое обращение волны во времени и в пространстве с помощью фазового фильтра. В заключение мы рассмотрим восстановление многомерных сигналов по их проекциям. Эта задача возникает в компьютерной томографии, как, впрочем, и в некоторых других приложениях.