7.2. Миграция сейсмических волн [13, 14]

Термин «миграция» относится к методу обработки, используемому при анализе сечений сейсмических данных для компенсации некоторых нежелательных геометрических эффектов распространения волн. Если взглянуть на этот метод с другой точки зрения, то он является удачным способом применения многомерных цифровых фильтров для точного решения дифференциальных уравнений в частных производных. Эта идея принадлежит Клербуту [15], однако изложение этого вопроса в настоящем разделе следует работам Гариботто [13] и Харриса [14]. Мы рассмотрим эту задачу в ее абстрактной математической форме. Что касается непосредственной связи этой задачи с сейсмическими исследованиями, она очень хорошо освещена в приложении к диссертации Харриса [14].

Идеализированная геометрическая постановка этой задачи представлена на рис. 7.6. Переменная  задает положение на поверхности земли, которая принимается плоской, а переменная  задает глубину внутрь земли. Предполагается, что акустическая сейсмическая волна  распространяется вверх сквозь землю с постоянной во всех точках скоростью . Ее распространение описывается двумерным гиперболическим волновым уравнением

.             (7.31)

Рис. 7.6. Геометрическая трактовка задачи о миграции.

Решетка сейсмометров измеряет значения  на поверхности земли, что дает граничные условия для дифференциального уравнения в частных производных. Нашей целью является определение функции , т. е. профиля волны, на глубине .

Обратное распространение акустической волны из глубины 0 до глубины  известно под названием миграции. Обычно волновое поле вычисляется рекурсивным способом для большого количества дискретных значений глубины  из значения поля на предыдущей глубине. Операция экстраполяции волнового поля  к  является операцией линейной фильтрации.

Согласно Харрису [14] и Гариботто [13], определим двумерное преобразование Фурье волнового поля на глубине @ следующим образом:

.            (7.32)

Осуществляя преобразование Фурье обеих частей волнового уравнения (7.31), получим

.                                          (7.33)

Это уравнение является обычным дифференциальным уравнением второго порядка по переменной . Можно решить это уравнение для поля при с начальными условиями при :

,            (7.34)

где

.                                                                                            (7.35)

Положительная экспонента соответствует волне, распространяющейся вверх, а отрицательная - волне, распространяющейся вниз. Поскольку предполагается, что волна распространяется вверх, можно положить . Далее, нетрудно заметить, что уравнение (7.34) можно записать в виде

,                                  (7.36)

где

.                                                   (7.37)

Теперь видно, что, как и утверждалось выше, оператор экстраполяции является линейным фильтром, инвариантным к сдвигу.

Если волновое поле представлено в дискретной форме как , то можно выполнить операцию экстраполяции, используя цифровой фильтр. Пусть  и , тогда частотный отклик идеального цифрового фильтра описывается следующей функцией:

,                                                  (7.38)

где  - фактически волновое число ,  - временная частота , a .

В области  передаточная функция имеет единичную амплитуду и поэтому полностью характеризуется фазовой функцией

.                                                               (7.39)

Физически эта область соответствует частотам и волновым числам распространяющейся волны. В области , известной как область затухания, волны не распространяются, а ослабляются. Эти области показаны на рис. 7.7. Целью разработки миграционного фильтра является аппроксимация уравнения (7.39) в области распространения. Только в этой области аппроксимация должна быть точной, поскольку полагают, что данные для области затухания имеют малую или нулевую энергию.

Рис. 7.7. Области затухания и распространения функции . (С любезного согласия Девида Б. Харриса.)

Поскольку искомая передаточная функция имеет единичную амплитуду для области распространения и может быть выбрана произвольным образом для области затухания, для  удобно выбрать структуру фазового фильтра как реализуемую аппроксимацию . Тогда

.

Таким образом, мы свели задачу к задаче разработки фильтра.

Как Гариботто [13], так и Харрис [14] рассмотрели в своих работах вопросы проектирования для этих приложений многомерных фазовых фильтров. Пример реализации миграционного фильтра приведен на рис. 7.8 [14]. На рис. 7.8,а модель Земли показана сплошными наклонными линиями, наложенными на искусственные сечения сейсмической волны, измеренные на поверхности. На рис. 7.8,б приведен результат после миграции. Необходимо отметить, что в этом случае миграционное сейсмическое сечение точно описывает модель Земли.

Рис. 7.8. Пример миграции сейсмической волны, полученный по данным моделирования.

а - модель Земли (сплошные линии) и смоделированное сейсмическое сечение; б - результат, полученный в результате миграции. (С разрешения Девида Б. Харриса.)