7.2. Миграция сейсмических волн [13, 14]Термин «миграция» относится к методу обработки, используемому при анализе сечений сейсмических данных для компенсации некоторых нежелательных геометрических эффектов распространения волн. Если взглянуть на этот метод с другой точки зрения, то он является удачным способом применения многомерных цифровых фильтров для точного решения дифференциальных уравнений в частных производных. Эта идея принадлежит Клербуту [15], однако изложение этого вопроса в настоящем разделе следует работам Гариботто [13] и Харриса [14]. Мы рассмотрим эту задачу в ее абстрактной математической форме. Что касается непосредственной связи этой задачи с сейсмическими исследованиями, она очень хорошо освещена в приложении к диссертации Харриса [14]. Идеализированная геометрическая постановка этой задачи представлена на рис. 7.6. Переменная
Рис. 7.6. Геометрическая трактовка задачи о миграции. Решетка сейсмометров измеряет значения Обратное распространение акустической волны из глубины 0 до глубины Согласно Харрису [14] и Гариботто [13], определим двумерное преобразование Фурье волнового поля на глубине @ следующим образом:
Осуществляя преобразование Фурье обеих частей волнового уравнения (7.31), получим
Это уравнение является обычным дифференциальным уравнением второго порядка по переменной
где
Положительная экспонента соответствует волне, распространяющейся вверх, а отрицательная - волне, распространяющейся вниз. Поскольку предполагается, что волна распространяется вверх, можно положить
где
Теперь видно, что, как и утверждалось выше, оператор экстраполяции является линейным фильтром, инвариантным к сдвигу. Если волновое поле представлено в дискретной форме как
где В области
Физически эта область соответствует частотам и волновым числам распространяющейся волны. В области Рис. 7.7. Области затухания и распространения функции Поскольку искомая передаточная функция имеет единичную амплитуду для области распространения и может быть выбрана произвольным образом для области затухания, для
Таким образом, мы свели задачу к задаче разработки фильтра. Как Гариботто [13], так и Харрис [14] рассмотрели в своих работах вопросы проектирования для этих приложений многомерных фазовых фильтров. Пример реализации миграционного фильтра приведен на рис. 7.8 [14]. На рис. 7.8,а модель Земли показана сплошными наклонными линиями, наложенными на искусственные сечения сейсмической волны, измеренные на поверхности. На рис. 7.8,б приведен результат после миграции. Необходимо отметить, что в этом случае миграционное сейсмическое сечение точно описывает модель Земли. Рис. 7.8. Пример миграции сейсмической волны, полученный по данным моделирования. а - модель Земли (сплошные линии) и смоделированное сейсмическое сечение; б - результат, полученный в результате миграции. (С разрешения Девида Б. Харриса.)
|