7.3. Восстановление сигналов по их проекциям

Задача восстановления многомерного сигнала по его проекциям - исключительно многомерная задача, не имеющая одномерного аналога. Приложения этой задачи охватывают широкую сферу от компьютерной томографии до обработки геофизических сигналов. Эту задачу можно анализировать с различных точек зрения - как задачу обращения свертки, как задачу моделирования, как задачу оценки или как интерполяционную задачу. Каждая точка зрения позволяет по-своему подойти к решению этой задачи.

В своей основе эта задача скорее непрерывная, чем дискретная, и поэтому мы сначала сформулируем задачу как непрерывную, а затем приведем несколько алгоритмов для ее приближенного решения. В конце будут рассмотрены некоторые обобщения задачи.

7.3.1. Проекции

Проекция является математической операцией, подобной физической операции получения изображения в рентгеновских лучах с помощью коллимированного источника излучения. В результате получается тень, т. е. трехмерная структура неизвестного объекта сводится к двумерному изображению, которое можно измерить. Математически можно описать проекцию любой размерности, но для упрощения выкладок целесообразно рассмотреть одномерные проекции двумерных объектов. Геометрическая схема моделирования процесса получения проекции приведена на рис. 7.9. Пусть облучаемый объект описывается неизвестной функцией плотности . Предположим далее, что пучок излучения направлен перпендикулярно линии, составляющей угол  с осью . Введем новую систему координат , повернутую относительно первоначальной:

,                                  (7.40а)

.                               (7.40б)

В этой системе координат пучок излучения параллелен оси  и перпендикулярен оси .

Рис. 7.9. Схема сканирования коллимированным пучком.

Процессы рассеяния и поглощения приводят к экспоненциальному ослаблению пучка фотонов при прохождении через слой материала толщиной  до величины выходной интенсивности

.                                                                            (7.41)

Коэффициент поглощения  зависит как от энергии рентгеновских лучей, так и от физических характеристик материала. Если материал имеет гетерогенную структуру, простое произведение  следует заменить на линейный интеграл, и тогда интенсивность выходного сигнала записывается следующим образом:

.                              (7.42)

Величина

называется проекцией  под углом . Она соответствует семейству линейных интегралов, взятых вдоль ряда линий, параллельных пучку и друг другу. Различным углам  в диапазоне  соответствуют различные ориентации пучка и различные проекции.

Задача восстановления сводится к решению конечного числа уравнений вида (7.44) при различных значениях угла  для получения оценки . Эта процедура может либо включать, либо не включать априорную информацию об . Задача точного восстановления  при заданном континууме проекций для всех углов в пределах  была решена в начале нашего века Радоном [16]. Подобная задача возникает в самых различных практических приложениях. Например, в компьютерной томографии осуществляется восстановление изображения сечения человеческого тела с использованием облучения рентгеновскими лучами под различными углами. Вначале этот метод применялся для обнаружения опухолей и других подобных патологических нарушений мозга пациента, поскольку в этом случае положение пациента легко контролировать, однако с развитием более быстрых алгоритмов и более быстрых процессоров этот метод стал применяться и для получения сечений торса. На рис. 7.10 приведено типичное изображение поперечного сечения торса человека, полученное с помощью современного сканирующего компьютерного томографа. Современное состояние техники позволяет получать кинематические изображения бьющегося сердца. В случаях, когда функция поглощения рентгеновского излучения нечувствительна к патологическим изменениям в ткани, применяются другие источники излучения, например позитроны и -лучи. В немедицинской сфере эту методику можно использовать для неразрушающего контроля материалов.

Рис. 7.10. Восстановление (с помощью компьютерной томографии) поперечного сечения грудной клетки пациента. (С любезного согласия Department of Radiology. Brigham and Women's Hospital, Boston.)

Аналогичные проекции можно получить при проведении геологических исследований с помощью скважин [17], как это показано на рис. 7.11. По обе стороны исследуемой области просверливаются две скважины. В одну из скважин на глубину  опускается акустический или микроволновый излучатель, а в другую на глубину  - приемник. При допущении, что единственным принимаемым сигналом является сигнал, распространяющийся по прямой линии от излучателя, мы получим один отсчет проекции функции запаздывания или функции ослабления акустической (или электромагнитной) волны. Меняя значения  и , можно получить набор интегралов по сечениям интересующей области. Этот метод был предложен для оконтуривания залежей углеводородов, измерения фронта горения в процессе подземной газификации угля и поиска подземных полостей для захоронения радиоактивных отходов.

Рис. 7.11. Использование скважин для получения информации о подземных геологических структурах с помощью акустических волн.

Есть и другие задачи, в которых требуются алгоритмы восстановления по проекциям. Электронные микроскопы дают проекции исследуемых образцов, радиотелескопы - проекции межзвездного пространства, граничные плотности вероятностей являются проекциями плотности вероятности многих переменных, а отклик линейной инвариантной к сдвигу оптической системы на линию является проекцией точечной функции рассеивания (импульсным откликом). Все эти задачи можно решить с помощью алгоритмов, рассматриваемых в настоящем разделе.