7.3.2. Теорема о проекционном срезе
К настоящему времени предложено большое количество алгоритмов восстановления. Некоторые из них реализованы в пространственной, другие - в частотной области преобразования Фурье. Независимо от того, как реализован тот или иной конкретный алгоритм, полезно рассмотреть, как осуществляется операция проецирования в обоих случаях.
Функция проецирования, определяемая уравнением (7.44), является одномерной. Если
имеет спектр Фурье
, существует и одномерный спектр Фурье функции
.
Обозначим этот спектр Фурье через
. Тогда можно записать

Возвращаясь к неповернутой (исходной) системе координат, получим
, (7.47)
или
. (7.48)
Таким образом, получается следующий довольно интересный результат: спектр Фурье проекции, полученной под углом
, является сечением двумерного преобразования Фурье неизвестной функции вдоль линии, проходящей через начало координат плоскости
и составляющей угол
с осью
. Эту функцию сечения мы будем называть срезом
под углом
. Уравнение (7.48) известно как теорема о проекционном срезе. Геометрическое пояснение этой теоремы приведено на рис. 7.12. Из теоремы о проекционном срезе следует, что значение нескольких проекций объекта обеспечивает значение преобразований Фурье вдоль выбранных радиальных линий в Фурье-плоскости. Таким образом, задача восстановления или оценки
эквивалентна задаче интерполяции преобразования Фурье в целом на основе этих радиальных сечений. При интерполяции можно также использовать и априорные знания об
. Например, если известно, что
обладает конечной протяженностью, то
аналитична. Последнее в свою очередь дает в руки соответствующий способ интерполяции в частотной области преобразования Фурье.

Рис. 7.12. Связь между проекцией двумерной функции и срезом ее спектра Фурье.
(С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [18]. Proc. IEEE. © 1974 IEEE.)
Используя теорему о проекционном срезе, можно непосредственно вывести формулу обращения Радона [16] для частного случая, когда известны все проекции в интервале
. Неизвестную функцию
можно найти из ее спектра Фурье
с помощью обратного преобразования Фурье
.
Если перейти в двумерной спектральной плоскости к полярным координатам
, то получим
(7.49)
Внутренний интеграл представляет собой обратное одномерное преобразование Фурье произведения
и
. Таким образом, он соответствует отфильтрованной функции проецирования. В этом случае частотный отклик
является производной от преобразования Гильберта функции
. Тогда можно переписать уравнение (7.49) в пространственной области следующим образом:
, (7.50)
где

Функция
- это ядро Радона, которое является обратным преобразованием Фурье
, существующим только в виде обобщенной функции. Мы рассмотрим некоторые его аппроксимации в разд. 7.3.5 при обсуждении реализации алгоритмов восстановления.