7.3.2. Теорема о проекционном срезе

К настоящему времени предложено большое количество алгоритмов восстановления. Некоторые из них реализованы в пространственной, другие - в частотной области преобразования Фурье. Независимо от того, как реализован тот или иной конкретный алгоритм, полезно рассмотреть, как осуществляется операция проецирования в обоих случаях.

Функция проецирования, определяемая уравнением (7.44), является одномерной. Если имеет спектр Фурье , существует и одномерный спектр Фурье функции .

Обозначим этот спектр Фурье через . Тогда можно записать

Возвращаясь к неповернутой (исходной) системе координат, получим

, (7.47)

или

. (7.48)

Таким образом, получается следующий довольно интересный результат: спектр Фурье проекции, полученной под углом , является сечением двумерного преобразования Фурье неизвестной функции вдоль линии, проходящей через начало координат плоскости и составляющей угол с осью . Эту функцию сечения мы будем называть срезом под углом . Уравнение (7.48) известно как теорема о проекционном срезе. Геометрическое пояснение этой теоремы приведено на рис. 7.12. Из теоремы о проекционном срезе следует, что значение нескольких проекций объекта обеспечивает значение преобразований Фурье вдоль выбранных радиальных линий в Фурье-плоскости. Таким образом, задача восстановления или оценки эквивалентна задаче интерполяции преобразования Фурье в целом на основе этих радиальных сечений. При интерполяции можно также использовать и априорные знания об . Например, если известно, что обладает конечной протяженностью, то аналитична. Последнее в свою очередь дает в руки соответствующий способ интерполяции в частотной области преобразования Фурье.

Рис. 7.12. Связь между проекцией двумерной функции и срезом ее спектра Фурье.

Используя теорему о проекционном срезе, можно непосредственно вывести формулу обращения Радона [16] для частного случая, когда известны все проекции в интервале . Неизвестную функцию можно найти из ее спектра Фурье с помощью обратного преобразования Фурье

Если перейти в двумерной спектральной плоскости к полярным координатам , то получим

(7.49)

Внутренний интеграл представляет собой обратное одномерное преобразование Фурье произведения и . Таким образом, он соответствует отфильтрованной функции проецирования. В этом случае частотный отклик является производной от преобразования Гильберта функции . Тогда можно переписать уравнение (7.49) в пространственной области следующим образом:

, (7.50)

где

Функция - это ядро Радона, которое является обратным преобразованием Фурье , существующим только в виде обобщенной функции. Мы рассмотрим некоторые его аппроксимации в разд. 7.3.5 при обсуждении реализации алгоритмов восстановления.