7.3.3. Дискретизация задачи восстановления

Первым шагом на пути разработки алгоритмов численного восстановления является задача дискретизации. В любой практической ситуации можно построить лишь конечное количество проекций. Более того, каждая проекция известна только в конечном числе отсчетных точек, и поэтому вычисленные преобразования могут быть известны только на наборе дискретных точек.

Если неизвестная плотность  имеет ограниченный частотный диапазон и ее преобразование Фурье заключено в области , то все ее проекции тоже будут иметь ограниченный частотный диапазон (это следует из теоремы о проекционных срезах). Обратное утверждение также справедливо: если все проекции  имеют ограниченный частотный диапазон, то  тоже имеет ограниченный частотный диапазон. Допустим, нам известно, что  имеет ограниченный частотный диапазон, так что  при . Из этого вытекают два важных следствия. Во-первых, достаточно восстановить или оценить отсчеты . Например, мы могли бы оценить значения отсчетов на прямоугольном растре, определяемом соотношением

, .                 (7.53)

Во-вторых, это означает, что можно выполнить дискретизацию каждой из проекций без потери информации, если эти отсчеты берутся с шагом, не большим чем . Тот факт, что количество отсчетов бесконечно, на практике не вызывает каких-либо серьезных затруднений. Хотя предположение, что  обладает ограниченным частотным диапазоном, подразумевает, что  должна иметь бесконечную опорную область, это скорее является ограничением математической модели, чем физической реальностью. На практике  обычно можно принять, что  имеет конечную протяженность, а если этого нельзя сделать, восстановление можно выполнить только в конечной области.

Если мы можем иметь только конечное количество проекций , то какое количество их необходимо? Это в большой степени зависит от того, что заранее известно о восстанавливаемом сигнале и насколько точно необходимо его восстановить. Например, если заранее известно, что сигнал аксиально симметричен, все его проекции идентичны, и для восстановления  достаточно одной из них. С другой стороны, если заранее о сигнале абсолютно ничего не известно, то из теоремы о проекционном срезе следует, что потребуется бесконечное количество проекций. В качестве компромиссного решения естественно предположить, что  имеет эффективный диаметр  и что для восстановления необходимо обеспечить разрешение деталей величиной , где . Из двумерной теоремы отсчетов известно, что если функция  ограничена кругом диаметром , то она полностью характеризуется отсчетами ее спектра Фурье, отстоящими на  по  и . При таком расположении отсчетов ни одна из точек квадратного растра в частотной области не будет отстоять далее чем на  от какого-либо из этих отсчетов. Если потребовать, чтобы дискретизация в частотной плоскости преобразования Фурье, выполняемая с помощью теоремы о проекционном срезе, удовлетворяла тем же ограничениям, мы получим, что . Тогда число проекций  должно удовлетворять неравенству

,                   (7.54)

где  - самая высокая пространственная частота, которую мы хотим оценить в преобразовании Фурье. Из требования разрешения следует, что

,                   (7.55)

откуда следует

.                 (7.56)

Эта формула является разумным практическим правилом. Заметим, что, как и следует быть, количество проекций растет с улучшением разрешения.