7.3.4. Алгоритмы восстановления в пространстве Фурье

Допустим, что имеется  проекций  при равноотстоящих углах , , дискретизация проекции выполнена с одной и той же частотой и что вычислено -точное ДПФ каждой дискретной проекции. Эти значения ДПФ можно трактовать как отсчеты преобразования Фурье по регулярному полярному растру, показанному на рис. 7.13,а. Если далее предположить, что  имеет конечную опорную область и что она обладает в некотором приближении ограниченным частотным диапазоном, так что может быть адекватно представлена -точечным дискретным преобразованием Фурье, задача восстановления сводится к интерполяции преобразования Фурье. Можно провести интерполяцию от известных значений преобразования по полярному растру к неизвестным значениям по квадратному растру ДПФ, выполнить обратное ДПФ и использовать эти результаты для оценки отсчетов .

Рис. 7.13.

a - полярный растр отсчетов в частотной области преобразования Фурье, полученный путем дискретизации всех проекций с одной и той же частотной дискретизации; б - растр в виде концентрических квадратов, полученный путем изменения частоты дискретизации с изменением угла проецирования. (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [18]. ©.1974 IEEE.)

Требуемую интерполяцию можно выполнить либо как интерполяцию нулевого порядка, либо как линейную интерполяцию. В частотной области большинство точек  растра ДПФ окружены четырьмя полярными отсчетами, как это показано на рис. 7.14. При интерполяции нулевого порядка каждому отсчету ДПФ приписывается значение ближайшего полярного отсчета, а при линейной интерполяции ему приписывается взвешенное среднее четырех ближайших полярных выборок, веса которых меняются обратно пропорционально евклидовому расстоянию между точками.

Рис. 7.14. Параметры, определяющие интерполяцию нулевого порядка и линейную интерполяцию. (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [18]. © 1974 IEEE.)

Если мы можем свободно выбирать частоту дискретизации в отдельных проекциях, можно изменить форму полярного растра ДПФ для облегчения процесса интерполяции. Например, растр, изображенный на рис. 7.13,б, возникает в том случае, если шаг между отсчетами в проекции под углом  составляет , где

.                 (7.57)

При таком растре интерполяция производится по строкам и столбцам прямоугольной решетки ДПФ и является, таким образом, одномерной. Это не только снижает объем вычислений, но и уменьшает ошибки интерполяции [18].

Некоторые результаты применения подобных алгоритмов показаны на рис. 7.15 и 7.16. Видно, что восстановление с использованием линейной интерполяции предпочтительно по сравнению с использованием интерполяции нулевого порядка, а также что модифицированный растр дает лучшее восстановление по сравнению с обычным полярным растром. Из рис. 7.16 можно получить представление о том, как связано качество восстановления с количеством проекций. Более подробное описание подобных алгоритмов можно найти в работах [18, 19].

Рис. 7.15.

а - восстановление исходного изображения, полученное по 64 итерациям под равноотстоящими углами с использованием различных алгоритмов интерполяции; б - интерполяция нулевого порядка, полярный растр; в - линейная интерполяции, полярный растр; г - линейная интерполяция, растр в виде концентрических квадратов. (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [18], ©1974 IHEE.)

Рис. 7.16. Восстановление с использованием линейной интерполяции и растра в виде концентрических квадратов.

а - по 16 проекциям; б - по 32 проекциям; в - по 64 проекциям; г - по 128 проекциям. (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [18], 1974 1ЕЕЕ)