7.3.5. Алгоритм обратной проекции

Интерполяционные алгоритмы восстановления в предыдущем разделе были получены довольно очевидным образом из теоремы о проекционном срезе. Аналогично путем дискретизации формулы обращения Радона (7.50) можно вывести алгоритмы обратной проекции. По разным причинам, не последней из которых является простота реализации, они представляют собой наиболее широко используемый класс алгоритмов. Их отличительной особенностью является возможность реализации полностью в пространственной области.

Предположим, что заданы проекции под углами и что

, , (7.58а)

. (7.58б)

Из равенства (7.50) следует, что неизвестный сигнал можно аппроксимировать следующим образом:

, (7.59)

где

, (7.60)

. (7.61)

Эти равенства можно интерпретировать следующим образом. Одномерная проекция под углом пропускается через одномерный фильтр с импульсным и частотным откликами. Заметим, что все проекции пропускаются через один и тот же фильтр. Выходом этого фильтра является функция . Используя повернутую систему координат , получим

. (7.62)

Тогда сигнал в сумме (7.59) можно представить себе как двумерный сигнал, отфильтрованный по переменной и однородный по переменной . Поскольку операция вычисления этой функции начинается с одномерной функции для получения двумерной, эта операция называется обратной проекцией. Функция получается из обратной проекцией этой функции в направлении (т. е. параллельно первоначальным линиям интегрирования, определяющим проекцию). Поскольку ориентация координатной системы различна для каждого из проекционных углов, то каждая из отфильтрованных обратных проекций будет иметь свою ориентацию.

При реализации этого алгоритма необходимо принять во внимание еще два момента. Во-первых, фильтр, описываемый равенством (7.61), не передает постоянную составляющую. В результате средний уровень восстановленного сигнала равен нулю. Во многих приложениях это явление нежелательно, поскольку восстанавливаемая плотность не может быть отрицательной. Однако это не является серьезной трудностью, поскольку означает, что к восстановленному сигналу надо всего лишь добавить постоянную составляющую. Уровень постоянной составляющей всегда можно выбрать таким, чтобы средний уровень восстановленного сигнала совпадал со средним уровнем неизвестного сигнала. Эти уровни можно измерить из самих проекций.

Второй момент касается выбора фильтра обратной проекции . В идеале этот фильтр должен иметь частотный отклик , однако, если все проекции имеют ограниченную полосу частот, поведение фильтра при высоких частотах не имеет значения. Поскольку коэффициент передачи фильтра растет с увеличением частоты, то при этом будет усиливаться высокочастотный шум. Поэтому для ограничения связанных с этим эффектом искажений фильтр обычно выбирают таким, чтобы его отклик был приблизительно линейным вплоть до некоторой граничной частоты, после которой отклик спадает до нуля. Точная форма частотного отклика также определяется удобством вычислений [20, 21].

Некоторые примеры восстановления с использованием данного алгоритма приведены на рис. 7.17 и 7.18. В этих случаях разрешение заметно лучше, чем в случаях применения линейной интерполяции. Однако необходимо заметить, что шум здесь выше, поскольку при проведении восстановлений не делалось попыток оптимального выбора фильтра .

Рис. 7.17. Восстановление изображения по 64 равноотстоящим по углам проекциям и с использованием метода обратной проекции.

Рис. 7.18. Восстановление с использованием метода обратной проекции в применении к проецированию по концентрическим квадратам.