7.3.5. Алгоритм обратной проекцииИнтерполяционные алгоритмы восстановления в предыдущем разделе были получены довольно очевидным образом из теоремы о проекционном срезе. Аналогично путем дискретизации формулы обращения Радона (7.50) можно вывести алгоритмы обратной проекции. По разным причинам, не последней из которых является простота реализации, они представляют собой наиболее широко используемый класс алгоритмов. Их отличительной особенностью является возможность реализации полностью в пространственной области. Предположим, что заданы проекции под углами
Из равенства (7.50) следует, что неизвестный сигнал
где
Эти равенства можно интерпретировать следующим образом. Одномерная проекция под углом
Тогда сигнал При реализации этого алгоритма необходимо принять во внимание еще два момента. Во-первых, фильтр, описываемый равенством (7.61), не передает постоянную составляющую. В результате средний уровень восстановленного сигнала равен нулю. Во многих приложениях это явление нежелательно, поскольку восстанавливаемая плотность не может быть отрицательной. Однако это не является серьезной трудностью, поскольку означает, что к восстановленному сигналу надо всего лишь добавить постоянную составляющую. Уровень постоянной составляющей всегда можно выбрать таким, чтобы средний уровень восстановленного сигнала совпадал со средним уровнем неизвестного сигнала. Эти уровни можно измерить из самих проекций. Второй момент касается выбора фильтра обратной проекции Некоторые примеры восстановления с использованием данного алгоритма приведены на рис. 7.17 и 7.18. В этих случаях разрешение заметно лучше, чем в случаях применения линейной интерполяции. Однако необходимо заметить, что шум здесь выше, поскольку при проведении восстановлений не делалось попыток оптимального выбора фильтра Рис. 7.17. Восстановление изображения по 64 равноотстоящим по углам проекциям и с использованием метода обратной проекции. а - проецирование по концентрическим квадратам; б - полярное проецирование; в - оригинал. (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [18]. © 1974 IEEE.) Рис. 7.18. Восстановление с использованием метода обратной проекции в применении к проецированию по концентрическим квадратам. а - 16 проекций; б - 32 проекции; в - 64 проекции; г - 128 проекций. (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [18]. ©1974 IEEE.)
|