1.3.3. Многомерное преобразование Фурье

В разд. 1.21 было показано, что произвольная двумерная последовательность может быть выражена в виде суммы взвешенных и сдвинутых импульсов [см. (1.25)]. ЛИС-система отзывается на каждый импульс своим импульсным откликом, взвешенным соответствующим образом. Поэтому выходная последовательность может рассматриваться как суперпозиция взвешенных и сдвинутых импульсных откликов.

В настоящем разделе будет показано, что двумерная последовательность в большинстве практически важных случаев может быть представлена взвешенной суммой комплексных синусоид, для чего следует использовать многомерное преобразование Фурье. Поскольку отклик ЛИС-системы на синусоидальный входной сигнал нам известен, мы можем представить выходную последовательность как суперпозицию синусоидальных откликов ЛИС-системы.

Если внимательно посмотреть на оператор обратного преобразования частотного отклика (1.84), можно заметить, что он не только дает формулу для вычисления , но и представляет последовательность  как суперпозицию комплексных синусоид. Используем аналогичное представление для входной последовательности

.                 (1.91)

Комплексная функция , известная как двумерное преобразование Фурье функции , определяется следующим образом:

.               (1.92)

Видно, что с учетом этого определения частотный отклик ЛИС- системы представляет собой преобразование Фурье импульсного отклика системы.

Пусть дана двумерная ЛИС-система  с импульсным откликом  и частотным откликом . Известно, что

.                       (1.93)

Используя свойство линейности, а также представление  в виде интеграла от взвешенных комплексных синусоид [выражение (1.91)], получим

        (1.94)

Наконец, с помощью (1.93) получим

.             (1.95)

При этом молчаливо предполагается, что функции  и  определены так, что можно изменять порядок операций интегрирования и выполнения оператора  в (1.94) на противоположный.

Выражение (1.95) дает новый способ описания выходной последовательности ЛИС-системы. Относительные веса комплексных синусоидальных компонент, входящих в состав входной последовательности, здесь заменены умножением на частотный отклик системы . Естественно, что выходная последовательность, вычисленная по формуле (1.95), идентична выходной последовательности, полученной с помощью (1.36) и (1.37), использующих дискретную свертку (см. упр. 1.18).

Выходную последовательность  можно также записать с помощью ее преобразования Фурье:

.                  (1.96)

Из сравнения уравнений (1.95) и (1.96) видно, что

,              (1.97)

если . Этот результат, часто называемый теоремой о свертке, исключительно важен: преобразование Фурье свертки двух двумерных последовательностей равно произведению их преобразований Фурье.

Можно показать, что преобразование Фурье, определяемое (1.92), существует, если последовательность  абсолютно суммируема

.                    (1.98)

Если преобразование Фурье существует, оно непрерывно и аналитично. Это означает, что частотный отклик ЛИС-системы существует, если только система устойчива. Иногда оказывается полезным рассмотрение некоторой системы, например идеального фильтра нижних частот, у которой частотный отклик не непрерывен, а импульсный отклик не удовлетворяет условию (1.98). Хотя такой импульсный отклик не является абсолютно суммируемым, он квадратично суммируем.

Последовательности, удовлетворяющие более слабому, чем (1.98), условию

,                (1.99)

могут не иметь непрерывного преобразования Фурье, но последние вполне определены всюду, за исключением точек разрыва непрерывности.