1.3.2. Определение импульсного отклика по частотному отклику

Как следует из определения (1.70) для , частотный отклик дискретной ЛИС-системы в общем случае представляет собой непрерывную двумерную периодическую функцию, которую можно выразить в виде линейной комбинации гармонически связанных комплексных синусоид. Соотношение (1.70) не только определяет , но и описывает разложение  в двумерный ряд Фурье. Коэффициентами разложения служат значения отсчетов импульсного отклика . Поэтому неудивительно, что импульсный отклик ЛИС-системы можно получить из частотного отклика.

Искомая зависимость может быть получена путем умножения обеих частей уравнения (1.70) на комплексную синусоиду и интегрирования в пределах квадратной частотной области:

     (1.82)

Нетрудно показать, что

,                  (1.83)

поэтому двойная сумма в правой части выражения (1.82) просто преобразуется в . Это дает возможность вычислить значение импульсного отклика в точке .

Переписав полученное выражение с использованием более привычных целочисленных переменных , получим

.                      (1.84)

Область интегрирования в (1.84) в точности совпадает с одним периодом функции . Хотя в приведенных выкладках использовался период, расположенный вокруг начала координат, с таким же успехом можно было использовать любой другой период.

Пример 5

Воспользуемся полученным результатом для нахождения импульсного отклика идеального фильтра нижних частот, определяемого частотным откликом

                      (1.85)

изображенным на рис. 1.20. Пример тривиален, поскольку рассматриваемая система разделима. Поэтому

       (1.86)

Рис. 1.20. Частотный отклик идеального прямоугольного фильтра нижних частот, рассмотренный в примере 5.

Пример 6

В качестве несколько более сложного примера рассмотрим задачу вычисления импульсного отклика идеального кругового фильтра нижних частот, описываемого частотным откликом вида

                 (1.87)

Этот частотный отклик, показанный на рис. 1.21, не является разделимым. В данном случае

.                (1.88)

Рис. 1.21. Частотный отклик идеального фильтра нижних частот с круговой симметрией, рассмотренный в примере 6.

Для упрощения вычисления интеграла по круговой области  заменим  и  переменными в полярных координатах. Определим

, , .

Тогда уравнение (1.88) преобразуется следующим образом:

        (1.89)

где  и  - функции Бесселя I рода 0-го и 1-го порядков соответственно. Полученный импульсный отклик является дискретной функцией с круговой симметрией. Ее сечение вдоль оси  имеет вид

.                  (1.90)

Это сечение представлено на рис. 1.22.

Рис. 1.22. Сечение вдоль оси  импульсного отклика фильтра нижних частот с круговой симметрией, рассмотренного в примере 6.