Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


1.3.2. Определение импульсного отклика по частотному отклику

Как следует из определения (1.70) для , частотный отклик дискретной ЛИС-системы в общем случае представляет собой непрерывную двумерную периодическую функцию, которую можно выразить в виде линейной комбинации гармонически связанных комплексных синусоид. Соотношение (1.70) не только определяет , но и описывает разложение  в двумерный ряд Фурье. Коэффициентами разложения служат значения отсчетов импульсного отклика . Поэтому неудивительно, что импульсный отклик ЛИС-системы можно получить из частотного отклика.

Искомая зависимость может быть получена путем умножения обеих частей уравнения (1.70) на комплексную синусоиду и интегрирования в пределах квадратной частотной области:

     (1.82)

Нетрудно показать, что

,                  (1.83)

поэтому двойная сумма в правой части выражения (1.82) просто преобразуется в . Это дает возможность вычислить значение импульсного отклика в точке .

Переписав полученное выражение с использованием более привычных целочисленных переменных , получим

.                      (1.84)

Область интегрирования в (1.84) в точности совпадает с одним периодом функции . Хотя в приведенных выкладках использовался период, расположенный вокруг начала координат, с таким же успехом можно было использовать любой другой период.

Пример 5

Воспользуемся полученным результатом для нахождения импульсного отклика идеального фильтра нижних частот, определяемого частотным откликом

                      (1.85)

изображенным на рис. 1.20. Пример тривиален, поскольку рассматриваемая система разделима. Поэтому

       (1.86)

047-1.jpg

Рис. 1.20. Частотный отклик идеального прямоугольного фильтра нижних частот, рассмотренный в примере 5.

Пример 6

В качестве несколько более сложного примера рассмотрим задачу вычисления импульсного отклика идеального кругового фильтра нижних частот, описываемого частотным откликом вида

                 (1.87)

Этот частотный отклик, показанный на рис. 1.21, не является разделимым. В данном случае

.                (1.88)

047-2.jpg

Рис. 1.21. Частотный отклик идеального фильтра нижних частот с круговой симметрией, рассмотренный в примере 6.

Для упрощения вычисления интеграла по круговой области  заменим  и  переменными в полярных координатах. Определим

, , .

Тогда уравнение (1.88) преобразуется следующим образом:

        (1.89)

где  и  - функции Бесселя I рода 0-го и 1-го порядков соответственно. Полученный импульсный отклик является дискретной функцией с круговой симметрией. Ее сечение вдоль оси  имеет вид

.                  (1.90)

Это сечение представлено на рис. 1.22.

048.jpg

Рис. 1.22. Сечение вдоль оси  импульсного отклика фильтра нижних частот с круговой симметрией, рассмотренного в примере 6.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>