1.3. Характеристики сигналов и систем в частотной области

В предыдущем разделе было показано, что для получения отклика двумерной ЛИС-системы на входной сигнал необходимо выполнить операцию свертки входного сигнала с импульсным откликом системы. Если представить входной сигнал в виде суперпозиции сдвинутых импульсов, то и выходной сигнал можно представить как суперпозицию сдвинутых импульсных откликов. Представление ЛИС-систем в частотной области также использует принцип суперпозиции, однако в этом случае элементарные последовательности являются комплексными синусоидами. Рассмотрим прежде всего отклик ЛИС-систем на синусоидальные входные сигналы.

1.3.1. Частотный отклик двумерной ЛИС-системы

Рассмотрим двумерную ЛИС-систему с единичным импульсным откликом  и входным сигналом, представляющим собой комплексную синусоиду вида

,                  (1.68)

где  и  - вещественные числа, называемые горизонтальной и вертикальной пространственными частотами соответственно. Выходной сигнал можно получить с помощью свертки

.                 (1.69)

Выходной сигнал представляет собой комплексную синусоиду с теми же частотами, что и у входного сигнала, но с измененными амплитудой и фазой за счет комплексного множителя . Множитель  носит название частотного отклика (частотной характеристики) системы и описывается выражением

.            (1.70)

ЛИС-система обладает способностью различать синусоидальные сигналы в зависимости от их частот. Если для какого-то конкретного значения упорядоченной пары  значение  приблизительно равно 1, то синусоидальные сигналы этой частоты будут проходить через систему без ослабления. С другой стороны, если для некоторой пары   близко к нулю, синусоиды этой частоты будут подавляться системой.

Прямыми выкладками можно показать, что частотный отклик  периодичен с периодом  по обеим (горизонтальной и вертикальной) частотным переменным

,

.                      (1.71)

Оставляем доказательство этого утверждения читателю (см. упр. 1.12).

Пример 3

В качестве простого примера вычислим частотный отклик системы с импульсным откликом

.                    (1.72)

Эта последовательность изображена на рис. 1.18,а. Частотный отклик имеет вид

       (1.73)

Этот частотный отклик показан на рис. 1.18,б в виде пространственного графика.

Рис. 1.18. Импульсный (а) и частотный (б) отклики, рассмотренные в примере 3.

Пример 4

Рассмотрим систему с импульсным откликом вида

             (1.74)

Используя определение частотного отклика, получим

    (1.75)

Частотный отклик изображен на рис. 1.19. Система является примером простого фильтра нижних пространственных частот. Коэффициент передачи фильтра приблизительно равен двум в начале координат и уменьшается практически до нуля при  или .

Рис. 1.19. Частотный отклик простого фильтра нижних частот, рассмотренный в примере 4.

Система из примера 4 обладает разделимым импульсным откликом, а из (1.75) видно, что и ее частотный отклик является разделимой функцией. Это справедливо и в общем случае. Если

,                  (1.76)

то

,

где

 

и

.                (1.77)

Доказательство оставляем читателю (упр. 1.13).

Если входная последовательность -мерной ЛИС-системы является комплексной синусоидой вида

,               (1.78)

то и выход системы представляет собой такую же комплексную синусоиду, умноженную на комплексный коэффициент передачи. Используя векторные обозначения, перепишем уравнение (1.78) в виде

,                (1.79)

где  и . Выходной сигнал -мерной ЛИС-системы описывается выражением

,                 (1.80)

где -мерный частотный отклик  определяется как

.                      (1.81)