1.5. Обработка непрерывных сигналов дискретными системами

Преобразуя непрерывный сигнал в дискретную периодическую последовательность отсчетов, мы получаем удобную возможность обработки сигналов цифровыми системами. Хотя в предыдущем разделе было показано, что для дискретизации многомерных сигналов можно использовать различные формы растра, большинство алгоритмов цифровой обработки основано на предположении, что значения отсчетов берутся на прямоугольном растре. Это достойно сожаления, поскольку, как было показано выше, правильный выбор растра дискретизации часто приводит к снижению плотности отсчетов и, следовательно, к уменьшению объема цифровой памяти, необходимой для хранения представления сигнала. Кроме того, меньшая плотность отсчетов влечет за собой снижение объема вычислений, требуемых для реализации операций фильтрации.

1.5.1. Взаимосвязь между входным и выходным сигналами системы

Рассмотрим систему, показанную на рис. 1.31. Сигнал с ограниченным спектром  преобразуется в соответствии с матрицей дискретизации  в дискретный сигнал . Дискретный сигнал обрабатывается одной из обсуждавшихся в разд. 1.2 многомерных ЛИС-систем, характеризуемой импульсным откликом . В результате формируется выходная последовательность , описываемая дискретной сверткой

.                      (1.155)

Эта выходная последовательность используется для реконструкции непрерывного сигнала  с помощью интерполяционной формулы (1.145). Таким образом, можно использовать дискретную ЛИС-систему для обработки непрерывного сигнала с ограниченным спектром.

 

Рис. 1.31. Дискретная многомерная система, которую можно использовать для обработки непрерывных сигналов с ограниченным спектром.

Матрица дискретизации  связана с матрицей периодичности  соотношением . Матрица периодичности в свою очередь выбирается так, чтобы функция  равная нулю вне некоторой ограниченной области , могла быть восстановлена по своему периодическому представлению. Матрицу  следует выбирать из условия минимальности ее определителя. В оптимальном случае периодическое повторение области  покроет плоскость  без зазоров или перекрытий.

Комбинируя выражения (1.145) и (1.155), запишем непрерывный выходной сигнал в виде

.                    (1.156)

Равенство (1.156) определяет связь между непрерывным входным сигналом  и выходным сигналом . Хотя и заманчиво было бы определить импульсный отклик всей системы, показанной на рис. 1.31, однако импульсный сигнал нельзя использовать в качестве входного, так как он имеет неограниченный спектр. Вместо этого подадим на вход системы интерполяционную функцию , определенную в (1.146). Частотный диапазон функции  ограничен областью , и после дискретизации в соответствии с матрицей  эта функция преобразуется в единичную импульсную последовательность . Если на входе системы действует функция , то непрерывный выходной сигнал будет описываться формулой

.                        (1.157)

Отклик  можно рассматривать как частотно-ограниченный импульсный отклик системы. Используя определение , можно получить другую форму соотношения (1.156), характеризующую связь входного и выходного сигналов:

.                                                (1.158)

Вид дискретной свертки (1.155) не зависит от матрицы дискретизации . Если эту сумму рассматривать как способ реализации фильтра, что можно делать, если импульсный отклик фильтра  имеет ограниченную область определения, то одно и то же аппаратное или программное обеспечение можно использовать для вычисления сверток последовательностей, представляющих сигналы с ограниченным спектром при дискретизации по прямоугольному, гексагональному или другим периодическим растрам. Однако объемы вычислений в этих случаях могут существенно различаться. Если, например,  представляет собой отсчет сигнала с круговой полосой частот при гексагональной дискретизации, то каждая из последовательностей  и  требует на 13,4% меньше отсчетов, чем в случае прямоугольной дискретизации. В результате при вычислении дискретной свертки число выполняемых операций сложения и вычитания уменьшится на 25%.