Глава 2. Дискретный Фурье-анализ многомерных сигналов

Фундаментальный прогресс в области цифровой обработки сигналов был достигнут в середине 60-х годов с открытием эффективного алгоритма вычисления с помощью ЭВМ дискретизованного спектра сигнала [1, 2]. Открытие алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) сделало возможным применение для Фурье-анализа сигналов цифровых технических средств и цифровых ЭВМ. Экономия в вычислениях, ставшая возможной благодаря БПФ, более существенна в многомерном случае, когда решаемая задача сложнее, а используемый объем данных больше. В настоящей главе обсуждается многомерное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и его связь с обычным преобразованием Фурье. Разрабатываются также некоторые алгоритмы БПФ для вычисления дискретного преобразования Фурье применительно к последовательности конечной протяженности.

Многомерное ДПФ является одновременно точным представлением преобразования Фурье для последовательности конечной протяженности, а также разложением в ряд Фурье многомерной периодической последовательности. Эта двойственная природа преобразования очень важна: из нее следуют многие свойства, которыми обладает ДПФ. Кроме того, скрытая периодичность преобразования может быть использована для разработки эффективных в вычислительном отношении алгоритмов его вычисления. Мы начнем изучение ДПФ с рассмотрения многомерных периодических последовательностей и их представлений рядами Фурье.

В гл. 1 было показано, что существуют различные варианты периодического продолжения многомерных последовательностей. Как будет видно из дальнейшего, из этого вытекает существование многих возможных алгоритмов ДПФ. Для простоты мы начнем с рассмотрения прямоугольно-периодических сигналов и прямоугольного ДПФ. Затем будет рассмотрен более общий случай.