2.1. Представление прямоугольно-периодических последовательностей в виде дискретных рядов Фурье

Двумерная последовательность  прямоугольно-периодична, если

               (2.1)

для всех ; ,  - положительные целые числа. Если эти числа являются наименьшими из возможных положительных целых чисел, для которых справедливо равенство (2.1), то они называются горизонтальным и вертикальным периодами . Любая периодическая последовательность с горизонтальным и вертикальным периодами  и  полностью описывается  независимыми отсчетами. Это легко видеть из того факта, что каждый отсчет в периодической последовательности  равен одному из отсчетов в области , . Эту прямоугольную область мы будем называть фундаментальным периодом и обозначать символом . Формально определим это следующим образом:

.              (2.2)

Периодическая последовательность и ее фундаментальный период показаны на рис. 2.1.

Рис. 2.1. a - периодическая двумерная последовательность; б - основной период этой последовательности.

Любую периодическую последовательность  с горизонтальным и вертикальным периодами  и  можно представить в виде конечной суммы комплексных синусоид с кратными частотами. Это соотношение, представляющее собой двумерный дискретный ряд Фурье, можно записать следующим образом:

.                       (2.3)

Комплексная синусоида

прямоугольно-периодична с горизонтальным периодом  и вертикальным периодом  для всех целых значений параметров  и . Числа  называются коэффициентами ряда Фурье. Их можно найти для  с помощью равенства

.                    (2.4)

Доказательство того, что равенства (2.3) и (2.4) математически тождественны, предлагается читателю в качестве упражнения (см. упр. 2.1).

Представление многомерной периодической последовательности в виде ряда Фурье по форме похоже на выражение для преобразования Фурье последовательности, введенное в гл. 1, однако содержит несколько существенных отличий. Во-первых, необходимо помнить, что периодическая последовательность (за исключением последовательности с нулевыми значениями) даже не имеет Фурье-преобразования в формальном смысле, поскольку она не является абсолютно суммируемой. В противоположность сумме, определяющей преобразование Фурье, пределы суммирования в выражении (2.4) конечны, и частотные переменные  и  - целые числа. Более того, для описания  необходимы лишь  значений . Таким образом, дискретный ряд Фурье - это преобразование, поддающееся вычислению. Используя определение (2.4), его можно вычислить путем  операций умножения и сложения комплексных чисел.

Из выражения (2.4) видно, что  сама по себе является периодической последовательностью с горизонтальным периодом  и вертикальным периодом . Операцию вычисления коэффициентов ряда Фурье можно, следовательно, интерпретировать как преобразование одной периодической последовательности в другую с той же периодичностью.

Пример 1

Рассмотрим определение коэффициентов дискретного ряда Фурье для последовательности с периодами  и , которая описывается выражением

, , .                      (2.5)

Этот периодический сигнал представлен на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Периодический сигнал, использованный в примере 1.

Для вычисления коэффициентов ряда Фурье подставим (2.5) в (2.4)

 для всех .          (2.6)

Поэтому можно записать  как двумерный ряд Фурье

.                       (2.7)