3.3.2. Выбор функции окна

Выбор функции окна обусловливается тремя требованиями. Во-первых, окно должно иметь опорную область . Во-вторых, чтобы отклик  хорошо аппроксимировал , функция  должна аппроксимировать двумерную импульсную функцию. Наконец, если требуется получить отклик  с нулевой фазой, окно должно удовлетворять условию нулевой фазы

.                (3.17)

Все эти требования не отличаются от требований к одномерным окнам, поэтому последние часто служат основой для выбора двумерных окон. Обычно для этого используется один из двух способов. В первом способе двумерное окно с квадратной или прямоугольной опорной областью формируется как прямое произведение двух одномерных окон:

.                        (3.18)

Второй способ, предложенный Хуангом [2], предусматривает формирование двумерного окна с помощью дискретизации поверхности, полученной вращением вокруг своей оси одномерной непрерывной функции окна

.             (3.19)

Формируемые таким образом двумерные окна характеризуются почти круговой опорной областью.

Фурье-спектр функции  равен произведению Фурье-спектров функций  и :

.                     (3.20)

Фурье-спектр функции  напоминает поверхность, полученную вращением вокруг своей оси одномерного Фурье-спектра функции , хотя и отличается от него в деталях.

Если ,  и  являются хорошими (т. е. удовлетворяющими всем нашим критериям) одномерными окнами, то  и  также будут хорошими окнами. Практически можно использовать целый ряд одномерных окон. Однако наиболее популярны прямоугольное окно

                                                      (3.21)

окно Хэннинга

                    (3.22)

и окно Кайзера [3]

                   (3.23)

где  - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Все эти окна являются непрерывными с опорным интервалом .

На рис. 3.3 представлен Фурье-спектр типичного одномерного окна, нормированный к единичной площади в частотной области. Видно, что значительная часть энергии окна сосредоточена в низкочастотной области; на высоких частотах наблюдаются пульсации. На этом рисунке  - ширина главного низкочастотного лепестка, а  - высота максимального из боковых лепестков. Чем меньше эти величины, тем выше качество окна и тем точнее функция  аппроксимирует отклик . Однако для окна с фиксированной опорной областью уменьшение одной из этих величин приводит к увеличению другой; единственный способ улучшения обеих характеристик окна заключается в увеличении количества отсчетов в области . Параметр  в выражении для окна Кайзера [уравнение (3.23)] служит для выбора компромиссного соотношения между  и . Наличие этого параметра делает окно Кайзера практически универсальным.

Рис. 3.3. Фурье-спектр типичной одномерной функции окна.