3.4. Синтез оптимальных КИХ-фильтров

Частотные отклики фильтров с конечной опорной областью могут только приблизительно соответствовать требуемым частотным характеристикам. Обычно реальный частотный отклик отличается от заданного на величину ошибки

.                                    (3.35)

Один из подходов к синтезу фильтра заключается в таком выборе коэффициентов фильтра, при котором минимизируется какой-либо функционал этой ошибки, например ее -норма (среднеквадратичное значение)

,                                              (3.36)

ее -норма

                              (3.37)

или норма Чебышёва ()

.                                                                     (3.38)

Поскольку фильтры, построенные с использованием разных критериев ошибки, могут заметно различаться, мы рассмотрим в этом разделе несколько примеров. При этом мы ограничимся рассмотрением фильтров с нулевой фазой [с вещественным откликом ].

Частотный отклик КИХ-фильтра с опорной областью  имеет вид

.                               (3.39)

Подставив (3.39) в (3.35), получим

.         (3.40)

Видно, что ошибка является линейной функцией неизвестных коэффициентов фильтра. Это делает общую задачу синтеза КИХ-фильтров относительно проще задачи синтеза фильтров для некоторых специальных способов реализации обсуждаемых в разд. 3.5, или задачи синтеза БИХ-фильтров, о которой будет идти речь в гл. 5.

Для вещественного фильтра с нулевой фазой величины  и  равны, что позволяет записать уравнение (3.39) в виде

.                     (3.41)

Здесь  содержит приблизительно вдвое меньше отсчетов, чем . Чтобы можно было выполнить линейную аппроксимацию, упростим уравнение (3.41), записав его в виде

,                                                                 (3.42)

где  - индекс, определяющий порядок отсчетов  в , a  - число независимых отсчетов в импульсном отклике, т. е. число степеней свободы аппроксимации. Коэффициенты  - это просто значения импульсного отклика, которые требуется найти

,                                                                                                       (3.43)

а функции , часто называемые базисными функциями аппроксимации, определяются как

                        (3.44)

Такая запись позволяет накладывать линейные ограничения на коэффициенты импульсного отклика. Например, если мы хотим наложить ограничения , мы просто заменяем в (3.42)  на  и опускаем член, содержащий . Это равносильно уменьшению числа степеней свободы на 1. Точно так же можно легко ввести ограничение , заменив  на  и опустив член  в сумме, определяющий . Это также равносильно уменьшению числа степеней свободы на 1. Теперь читатель в состоянии проверить возможность введения также ограничения вида . При этом, как и раньше, число степеней свободы уменьшится на 1.

В качестве примера того, как можно уменьшить число степеней свободы, рассмотрим -точечный КИХ-фильтр с 8-кратной симметрией. Ее можно обеспечить, наложив условия

.                                            (3.45)

Частотный отклик такого фильтра запишется в виде (3.42), причем

             (3.46)