3.4.1. Синтез методом наименьших квадратов

В настоящем разделе мы рассмотрим алгоритмы такого выбора , при котором минимизируются ошибка  в выражении (3.36) и некоторые связанные с ней функционалы ошибки. Эти алгоритмы, как правило, очень просты и практически ничего не требуют, кроме решения нескольких линейных уравнений.

Коэффициенты фильтра, минимизирующие , можно получить с помощью уже известного нам метода окон, если взять функцию окна, постоянную в . Чтобы убедиться в этом, начнем с определения :

.

Используя теорему Парсеваля, можно выразить  через величины, определенные в пространственной области

                     (3.47)

В последнем выражении учтено, что отклик  равен 0 при любых  вне области . Поскольку обе суммы в выражении (3.47) положительны и только первую можно изменять подбором коэффициентов фильтра , то  достигает минимума при

                     (3.48)

т. е. для фильтра, который получается при использовании метода окон с постоянной в области  функцией окна.

В несколько более общем случае, когда наложены линейные ограничения и частотный отклик фильтра описывается выражением (3.42), имеем

.

Для минимизации  найдем производные этого выражения по каждому из , приравняем их нулю и решим полученные уравнения. Поскольку частные производные  являются линейными функциями неизвестных коэффициентов, это потребует в худшем случае решения  линейных уравнений, которые можно записать в виде

, , где                                      (3.49)

,                  (3.50a)

.                     (3.50б)

В распространенном частном случае, когда  ортогональны ( для ), решением (3.49) будет просто . Число линейных уравнений, требующих совместного решения, определяет верхний предел допустимого числа степеней свободы.

Мера ошибки  в равной степени учитывает ошибки на всех частотах. Из опыта синтеза методом окон мы знаем, что фильтры с минимизацией по  не всегда оказываются удовлетворительными: для них характерны значительные пульсации в полосах пропускания и непропускания. Кроме того, если зависимость  сложна, вычисления интегралов в выражении (3.506) может представить значительные трудности. Указанные недостатки можно частично устранить, если заменить ошибку  ошибкой , имеющей вид

.                      (3.51)

Совокупность частот , называемых ограничивающими частотами, соответствует конечному числу дискретных позиций на двумерной частотной плоскости, а положительные числа  обозначают весовые коэффициенты. При такой мере ошибки мы можем в тех областях частотной плоскости, где ошибка должна быть мала, увеличить плотность ограничивающих частот и (или) увеличить их веса. На практике число ограничивающих частот должно в несколько раз превышать число степеней свободы.

Нахождение коэффициентов  минимизирующих  по-прежнему требует решения  линейных уравнений с  неизвестными:

, ,                                             (3.52)

,                            (3.53a)

.                               (3.53б)

Хотя точно так же можно синтезировать фильтры с минимизацией нормы ошибки  , получающиеся в этом случае уравнения нелинейны, и их решение связано со значительными трудностями. В этом случае чаще используют итерационный алгоритм, например метод наискорейшего спуска, позволяющий получать значения коэффициентов фильтра, последовательно приближающиеся к требуемым. Коэффициенты  на -й итерации метода наискорейшего спуска определяются из уравнения

, .               (3.54)

Параметр  известен под названием размера шага. Для его выбора существуют различные приемы.