3.6. КИХ-фильтры для случая гексагональной дискретизации сигналов

С принципиальной точки зрения КИХ-фильтры для гексагональной дискретизации сигналов не отличаются от КИХ-фильтров для прямоугольной дискретизации; и в том и другом случае отсчеты выходной последовательности являются линейной комбинацией входных отсчетов. Однако в деталях имеются отличия в эффективности и в виде результирующих формул и выражений.

Частотный отклик гексагонального фильтра можно представить в виде

.                      (3.103)

Область суммирования простирается на всю область импульсного отклика фильтра. Если  - чисто вещественная функция, то мы имеем фильтр с нулевой фазой. В этом случае

.                                                     (3.104)

3.6.1. Реализация гексагональных КИХ-фильтров

Два способа реализации КИХ-фильтров (прямая свертка и использование ДПФ) легко распространяются на случай гексагональной дискретизации. Действительно, выражение для свертки

                      (3.105)

выглядит так же, как и для прямоугольной дискретизации. Если импульсный отклик  симметричен, то, как и в случае прямоугольного фильтра, это можно использовать при реализации свертки для сокращения числа требуемых операций умножения.

Преимущество гексагональных систем проявляется в тех случаях, когда требуется отклик с круговой симметрией. Прямоугольная система может иметь импульсный или частотный отклики с симметрией 8-го порядка (относительно обеих частотных осей и обеих диагоналей). Гексагональная же система может обладать симметрией импульсного и частотного откликов 12-го порядка (относительно всех шести вершин шестиугольника и биссектрис всех шести центральных углов). Поэтому при прочих равных условиях симметричный гексагональный КИХ-фильтр требует по сравнению с прямоугольным лишь около  операций умножения. Однако прочие условия не равны. Входной и выходной сигналы при гексагональной дискретизации также содержат меньшее количество отсчетов. В результате выигрыш в числе операций для гексагонального фильтра может доходить до 58%. В табл. 3.4 приведены значения нормированной среднеквадратичной ошибки для прямоугольного и гексагонального КИХ-фильтров нижних частот, синтезированных с использованием плоского окна [21]. Ошибка уменьшается по мере увеличения радиуса фильтра, при этом ошибки фильтров обоих типов оказываются сравнимыми по величине. Однако количество коэффициентов фильтра, пропорциональное числу сложений, для гексагонального фильтра примерно на 25% меньше. Используя симметрию импульсного отклика (идеальным здесь является фильтр нижних частот с круговой симметрией), можно уменьшить число различающихся коэффициентов фильтра, пропорциональное числу требуемых операций умножения. Для гексагонального фильтра число различающихся коэффициентов асимптотически в два раза меньше, чем для прямоугольного.

Таблица 3.4. Полное число коэффициентов и число различающихся коэффициентов для прямоугольного и гексагонального КИХ-фильтров с различными радиусами их опорной области. (С любезного согласия Рассела М. Мерсеро, Proc. IEEE, © 1979 IEEE.)

Радиус	Тип фильтра	Полное число коэффициентов	Число различающихся коэффициентов	Нормированная ошибка
0	Прямоугольный	1	1	0,804
0	Гексагональный	1	1	0,773
1	Прямоугольный	9	3	0,200
1	Гексагональный	7	2	0,214
2	Прямоугольный	25	6	0,158
2	Гексагональный	19	4	0,166
3	Прямоугольный	49	10	0,098
3	Гексагональный	37	6	0,102
4	Прямоугольный	81	15	0,084
4	Гексагональный	61	9	0,090
а) Идеальным является низкочастотный фильтр с круговой симметрией.

Для реализации гексагональных КИХ-фильтров можно использовать также ДПФ (либо выполнив два преобразования по всей протяженности сигнала, либо с помощью секционированной свертки). Заинтересованный читатель сможет сам разработать необходимые детали.