4.1. Разностные уравнения конечного порядка
Разностное уравнение - это
неявное соотношение между входом
и выходом
линейной инвариантной к сдвигу системы.
Оно имеет вид
. (4.1)
Если выходные отсчеты ЛИС-систем
можно найти по значениям входных отсчетов с помощью конечного числа вычислений,
то эти вычисления можно выразить в форме (4.1) с конечными пределами
суммирования. Последнее условие означает, что массивы коэффициентов
и
имеют конечные размеры. В этом
случае мы говорим, что разностное уравнение имеет конечный порядок.
Далее, если
, можно нормализовать
коэффициенты
и
, разделив
обе части (4.1) на
.
Это позволяет принять
без потери общности рассмотрения. Такая
нормализация упрощает некоторые последующие выражения.
Порядок разностного уравнения
является мерой протяженности опорной области массива
. Чем выше порядок, тем больше
степень сложности. К сожалению, не существует точного определения порядка,
поскольку массив
может
иметь любую форму. Порядок определяется численно только после того, как
установлена форма массива
. Например, в частном случае, когда
имеет прямоугольную
форму, так что (4.1) можно записать в виде
, (4.2)
мы
можем сказать, что порядок равен
.
Важным частным случаем является
класс разностных уравнений порядка «ноль на ноль». Для этих систем массив
состоит из одного
отсчета в начале координат, и мы можем записать
. (4.3)
Сравнивая
это разностное уравнение с выражением для свертки, мы видим, что выходной
массив
является
сверткой входного массива с массивом коэффициентов
и что
можно отождествить с
импульсным откликом фильтра. Поскольку
содержит только конечное число ненулевых
значений, мы видим, что разностное уравнение порядка «ноль на ноль»
соответствует КИХ-фильтрам, подобным тем, которые обсуждались в гл. 3.
Разностные уравнения конечного порядка, отличного от нуля, соответствуют
БИХ-фильтрам (фильтрам с бесконечной импульсной характеристикой).