4.2. Многомерное z-преобразование

В гл. 1 рассматривался отклик линейных инвариантных к сдвигу систем на синусоидальное возбуждение, что естественным образом привело к преобразованию Фурье. -Преобразование является обобщением преобразования Фурье, позволяющим исследовать экспоненциальные входные сигналы. Благодаря этому оба преобразования имеют много общего, но в способах их применения имеется существенное отличие. Преобразование Фурье преимущественно используется для описания сигналов и воздействия систем на эти сигналы. -Преобразование используется для описания систем и обеспечивает дополнительные средства обращения с разностными уравнениями. Оно также приносит неоценимую пользу при решении таких задач, как анализ устойчивости фильтров. Если сравнить двумерное -преобразование с его одномерным аналогом, также обнаружатся глубокие различия между -преобразованием и преобразованием Фурье. По этим причинам мы постараемся провести достаточно полное рассмотрение этого преобразования.

4.2.1. Передаточная функция

Экспоненты вида  являются собственными функциями двумерной линейной инвариантной к сдвигу системы. Это можно показать, описав выходной массив с помощью свертки

где .                  (4.16)

 является собственным значением, соответствующим собственной функции . Будем называть ее передаточной функцией или системной функцией системы. Как и импульсный отклик, она полностью описывает линейную систему. В общем случае сумма в выражении (4.16) может не сходиться для всех значений комплексных переменных  и , но, если фильтр устойчив, она будет сходиться при , . Для этих значений  и  передаточная функция становится частотным откликом, поскольку

.                                               (4.17)