4.2.2. z-преобразование

Теперь формально определим двумерное -преобразование дискретного массива  в виде

.                       (4.18)

При таком определении видно, что передаточная функция является -преобразованием импульсного отклика. Если положить , , то -преобразование переходит в преобразование Фурье. Для удобства назовем поверхность в -пространстве, описываемую функциями , , двумерной единичной поверхностью или единичной биокружностью.

Сумма (4.18) не обязательно сходится для всех (или некоторых) значений  и . Значения  и , при которых -преобразование абсолютно сходится, составляют область сходимости, или область аналитичности в -гиперплоскости. Внутри этой области сходимости функция  является аналитической функцией. Область сходимости состоит из тех точек , для которых

,                                (4.19)

что в свою очередь означает, что

.                                                                   (4.20)

Лежит или не лежит точка  в области сходимости, зависит только от величин , , а не от фазовых углов комплексных переменных. Следовательно, в одномерном случае область сходимости -преобразования представляет собой кольцо, как показано на рис. 4.13. Эквивалентным образом область сходимости может быть обозначена в виде отрезка на прямой. Двумерным аналогом кольца является область Рейнхардта. Если точка  лежит в области Рейнхардта , точки  должны тоже лежать в области  для всех действительных значений  и . Хотя область Рейнхардта для двумерного -преобразования является четырехмерной фигурой, она может быть полностью определена двумерной фигурой, аналогичной показанной на рис. 4.14.

Рис. 4.13.

а - типичная область сходимости -преобразования одномерной последовательности; б - эквивалентное представление кольца в виде отрезка прямой линии.

Рис. 4.14. Графическое представление двумерной области сходимости.

Для упрощения последующих построений область показана в координатах  и . Единичная окружность соответствует началу координат в плоскости .

Как и в одномерном случае, определение -преобразования какой-либо последовательности не является полным и определенным без одновременного определения области сходимости. Рассмотрим несколько примеров типичных областей сходимости, с которыми нам впоследствии придется сталкиваться, соотнесенных с опорными областями последовательности .

Последовательность с конечной опорной областью. Для последовательности, опорная область которой заключена в конечной по площади части плоскости , -преобразование можно записать в виде

.            (4.21)

Поскольку пределы суммирований, а также суммируемые величины конечны, видно, что -преобразование сходится для всех конечных значений  и , за исключением, может быть, точек  или .

Последовательность с опорной областью в виде квадранта.

Вследствие аналогии с одномерными физически реализуемыми последовательностями важный класс последовательностей составляют двумерные последовательности, равные нулю вне первого квадранта.

Для последовательности этого класса двумерное -преобразование можно записать в виде

.                 (4.22а)

Можно непосредственно показать, что если точка  лежит в области сходимости суммы (4.22а), то все точки , удовлетворяющие условиям

, ,                                                           (4.22б)

также лежат в области сходимости. Графически это представлено на рис. 4.15. Пользуясь этими условиями, можно сделать несколько утверждений относительно границы области сходимости для последовательностей первого квадранта. Наклон этой границы, указанной штриховой линией на рис. 4.15, не может быть положительным. Если бы это было не так, можно было бы найти точки, удовлетворяющие достаточным условиям и все же лежащие вне области сходимости, как это показано на рис. 4.16. Из возникающего противоречия следует, что граница не может иметь положительного наклона.

Рис. 4.15. Область сходимости двумерной последовательности с опорной областью в первом квадранте, лежащая в плоскости  выше и правее штриховой линии.

Рис. 4.16. Область сходимости с указанной на рисунке границей для последовательностей

первого квадранта на практике возникнуть не может. Поскольку точка  лежит внутри области сходимости, то все точки , удовлетворяющие неравенствам  и , также должны лежать внутри области сходимости. Если предположить, что в каком-то месте у границы имеется положительный наклон, возникает противоречие. Это место отмечено на рисунке двойной штриховкой.

В качестве простого примера рассмотрим двумерную последовательность первого квадранта

,              (4.23)

-преобразование которой описывается функцией

.                                        

Можно непосредственно показать, что область сходимости содержит точки , удовлетворяющие неравенству

 или, что то же самое,              (4.24а)

.                                     (4.24б)

Таким образом, граница области сходимости является прямой линией с наклоном в плоскости , равным .

Для последовательностей с опорной областью на втором, третьем или четвертом квадрантах можно привести аналогичные соображения, накладывающие ограничения на форму области сходимости.

Последовательность с опорной областью на секторе. Область сходимости для последовательности с опорной областью на секторе несколько более сложна. Предположим, что последовательность имеет опорную область, показанную на рис. 4.17, а. -Преобразование такой последовательности можно записать в виде

.                       (4.25)

Рис. 4.17. а - двумерная последовательность с опорной областью на секторе; б - область сходимости ее -преобразования. Если точка  лежит внутри опорной области, то все точки , такие, что  и , также лежат внутри области сходимости (отмеченной двойной штриховкой).

Определив новую переменную , можно записать предыдущую сумму следующим образом:

Ясно, что если сходится сумма (4.27), то сходится и сумма (4.25). Последовательность  имеет опорную область, ограниченную первым квадрантом. Таким образом, если точка  лежит внутри области сходимости, то точка  также будет лежать внутри области сходимости при условии, что

 и                                                               (4.28а)

.                                                    (4.28б)

Неравенства (4.28а), (4.28б) можно переписать следующим образом:

 и                                                         (4.29а)

.              (4.29б)

Эта область показана на рис. 4.17, б. Эти условия также можно использовать для наложения ограничений на наклон границы области сходимости.

Последовательность с опорной областью на полуплоскости. Предположим, что последовательность  имеет опорную область только на верхней полуплоскости. Тогда  для  и

.

Если  лежат внутри области сходимости , то точки , удовлетворяющие условиям  и , также лежат внутри области сходимости. Следовательно, граница области сходимости должна быть однозначной функцией  (или ), как показано на рис. 4.18.

Рис. 4.18. Для двумерной последовательности с опорной областью в верхней полуплоскости принадлежность точки  к области сходимости -преобразования означает, что все точки , такие, что  и , также лежат в области сходимости.

Последовательность с опорной областью на всей плоскости. Область сходимости -преобразования последовательности с опорной областью на всей плоскости  может быть разнообразной по размеру и форме. Например, -преобразование последовательности  сходится при всех значениях . Напротив, -преобразование последовательности  не сходится ни при каких значениях . Однако нередко -преобразование с опорной областью на всей плоскости сходится в области конечных размеров.

Последовательность с опорной областью на всей плоскости можно записать в виде суммы четырех последовательностей с опорной областью на квадранте. Например:

, где

                        (4.30)

Последовательности ,  и  определяются аналогично и имеют опорные области на втором, третьем и четвертом квадрантах соответственно. Следовательно, -преобразование  можно записать в виде суммы четырех -преобразований последовательностей с опорной областью на квадранте. Областью сходимости -преобразования  является пересечение областей сходимости четырех составляющих -преобразований.