4.2.3. Свойства двумерного z-преобразования

z-Преобразование имеет ряд свойств, полезных для вычисления, решения задач и доказательства теорем. Доказательства очевидны и оставляются в качестве упражнений для интересующегося читателя.

Разделимые сигналы. Если

, то (4.31а)

. (4.31б)

Таким образом, последовательность разделима тогда и только тогда, когда последовательность, из которой она получена, разделима. В этом случае и являются одномерными -преобразованиями и соответственно. Точка будет областью сходимости последовательности тогда и только тогда, когда лежит в области сходимости -преобразования , а лежит в области сходимости -преобразования .

Линейность. Если

, то (4.32a)

(4.32б)

для любых комплексных констант и . В общем случае область сходимости - пересечение областей сходимости и , хотя в отдельных случаях она может быть несколько больше. Это свойство полезно при представлении сложной системы в виде параллельного соединения более простых систем или при построении сложной системы из более простых.

Сдвиг. Если

, то (4.33а)

. (4.33б)

Область сходимости та же, что и область сходимости , за исключением, может быть, точек, для которых или .

Модуляция. Если

, то (4.34а)

. (4.34б)

Область сходимости имеет такую же форму, как и область для , за исключением того, что ее масштаб изменен в раз по переменной и в раз по переменной .

Дифференцируемость. Если

, то (4.35а)

. (4.35б)

Области сходимости и одинаковы.

Комплексная сопряженность. Если является комплексным сигналом с -преобразованием , то

, (4.36)

, (4.37)

. (4.38)

Все эти -преобразования имеют ту же область сходимости, что и .

Зеркальное отражение. Если

, то (4.39)

, (4.40)

, (4.41)

. (4.42)

Свертка. Если

, (4.43а)

то . (4.43б)

Двумерное -преобразование свертки двух последовательностей равно произведению их -преобразований. Область сходимости является пересечением областей сходимости и .

Перемножение. -Преобразование произведения двух последовательностей есть комплексная свертка их -преобразований. Так

. (4.44)

Теорема Парсеваля. Теорема Парсеваля устанавливает соотношение между скалярными произведениями двух последовательностей и их -преобразованиями

. (4.45)

Контуры интегралов должны быть замкнутыми, охватывать начало координат соответствующих переменных против часовой стрелки и лежать полностью в области сходимости.

Теоремы о начальных значениях. Если для и , то