4.3. Устойчивость рекурсивных систем

Понятие устойчивости вводится для описания поведения систем при всех разумных значениях входных сигналов. Любой переходной процесс, вызванный резкими изменениями во входном множестве, должен быть ограниченным по своей протяженности, и установившееся поведение системы (т. е. отклик при больших значениях индексов  и ) должно быть предсказуемым. Для формализации этой концепции исследователи определили несколько различных типов устойчивости, но для ЛИС-систем все они так или иначе, естественно, связаны с импульсным откликом. Наиболее подробно изученным критерием устойчивости является критерий ограниченного входа и ограниченного выхода (ОВОВ), который мы и рассмотрим более детально. Система устойчива по этому критерию, если любая ограниченная входная последовательность дает ограниченную выходную последовательность, т. е. если входной сигнал удовлетворяет неравенству

,                                               (4.68)

выходной сигнал должен удовлетворять неравенству

,                                              (4.69)

где  и  - положительные числа. Как установлено в гл. 1, из этого следует, что линейная инвариантная к сдвигу система будет устойчивой тогда и только тогда, когда ее импульсный отклик является абсолютно суммируемым, т. е.

.                    (4.70)

Хотя условие (4.70) является и безусловно верным, и носит фундаментальный характер, его применимость ограничена. При использовании его для проверки на устойчивость необходимо вычислять бесконечные суммы. Простое усечение суммы неприемлемо, поскольку усеченная сумма всегда будет конечной. Более того, условие (4.70) требует, чтобы импульсный отклик был известен. Однако алгоритмы синтеза фильтров обычно позволяют получить коэффициенты разностного уравнения либо передаточную функцию фильтра. Поэтому желательно иметь возможность определить устойчивость фильтра непосредственно по передаточной функции.