4.3.1. Теоремы об устойчивости

Если двумерная последовательность абсолютно суммируема, ее -преобразование аналитично на единичной поверхности . Обратное утверждение также справедливо: если -преобразование последовательности аналитично на единичной поверхности, то последовательность является абсолютно суммируемой, а фильтр - устойчивым. Для практически важного случая рациональных передаточных функций

                               (4.71)

требование аналитичности  для  эквивалентно требованию, чтобы  для . Это в свою очередь требует, чтобы единичная поверхность  лежала в области сходимости передаточной функции.

Хотя выполнение этого условия легко проверить, область сходимости передаточной функции редко задана в явном виде. Наоборот, чаще всего приходится иметь дело с передаточной функцией, заданной в виде функционала, и с опорной областью импульсного отклика. В общем случае импульсный отклик для рекурсивно вычислимого фильтра имеет опорную область только на секторе. Ранее мы видели, что любую последовательность с опорной областью на секторе можно линейно отобразить на другую последовательность с опорной областью в первом квадранте. Поскольку отображение обратимо, исходная последовательность будет абсолютно суммируемой тогда и только тогда, когда отображенная последовательность абсолютно суммируема [6]. Устойчивость любого фильтра, импульсный отклик которого имеет опорную область в виде сектора, можно, таким образом, свести к устойчивости фильтра с опорной областью в первом квадранте. Поэтому мы на время ограничимся рассмотрением устойчивости ЛИС-систем с рациональной передаточной функцией, импульсный отклик которых имеет опорную область на первом квадранте плоскости .

Устойчивость одномерного рекурсивного фильтра зависит от положения его полюсов. Аналогично в многомерном случае устойчивость зависит от набора нулей полинома-знаменателя . Однако иногда на стабильность может влиять и полином-числитель. Это может случиться, если на единичной биокружности имеются несущественные особенности второго рода. Этот вопрос мы отложим до разд. 4.3.3, а сейчас обойдем эту трудность, приняв, что .

Первая из предложенных теорем об устойчивости, принадлежащая Шэнксу [7,8], обобщает метод проверки расположения полюсов на двумерный случай.

Теорема (Шэнкс)

Пусть  является рекурсивным фильтром в первом квадранте. Такой фильтр устойчив тогда и только тогда, когда  для любой точки , такой, что  или .

Теорему Шэнкса нетрудно понять, но трудно использовать. Она требует, чтобы все внешнее пространство единичной биокружности было исследовано на особые точки. Эквивалентный, но менее известный результат был также получен Шэнксом [7]. (См. также работу [17].)

Теорема (Шэнкс)

Пусть  является рекурсивным фильтром первого квадранта. Функция  устойчива тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

а)      , , ,

б)      , , .

Подобная же теорема была сформулирована Хуангом [9]. Доказательства можно найти в работах [10,11].

Теорема (Хуанг)

Пусть  является рекурсивным фильтром первого квадранта. Этот фильтр устойчив тогда и только тогда, когда  удовлетворяет следующим двум условиям:

а)      , , ,

б)       ,  для любого , такого что .

Второе условие теоремы Хуанга является одномерным условием устойчивости; первое условие двумерно, но  находится на своей единичной окружности. Роли  и  в этой теореме можно менять местами. Большинство практических реализаций тестов на устойчивость с 1972 по 1977 г. основывалось на тесте Хуанга. Де Карло и др. [12] и Стринтцис [13] независимо друг от друга показали, что тест Хуанга также можно упростить. Этот третий критерий сформулирован ниже.

Теорема (Де Карло-Стринтцис)

Пусть  является рекурсивным фильтром первого квадранта. Такой фильтр устойчив тогда и только тогда, когда  удовлетворяет следующим трем условиям:

а)       для  и ,

б)       для  для любого , такого, что ,

в)       для  для любого , такого, что .

Здесь опять пи. «б» и «в» соответствуют одномерным условиям устойчивости, в то время как п. «а» - двумерному условию. Де Карло и др. [12], а также О'Коннор [14] предложили некоторые альтернативные критерии устойчивости с измененными условиями пп. «б» и «в», однако они являются очевидными модификациями условий, сформулированных выше. В частности, мы можем выбрать для теоремы Де Карло-Стринтциса . Следует отметить, что условие п. «а» просто требует вычисления -преобразования по единичной биокружности, которое сводится к преобразованию Фурье. Таким образом, этот тест можно интерпретировать как обобщение одномерного критерия устойчивости Найквиста.

Хотя для доказательства этой теоремы потребовался довольно сложный математический аппарат, некоторое эвристическое представление о том, как она работает, можно получить, просто глядя на диаграмму корней . Вспомним, что диаграмма корней есть изображение единичной окружности одной переменной (скажем, ) в плоскости другой переменной при неявном отображении . Каждый полином имеет две диаграммы корней - одна является изображением в плоскости , другая - изображением в плоскости . Условие теоремы Шэнкса (во второй форме) будет удовлетворяться в том случае, когда изображение корней полинома на каждой из диаграмм корней лежит внутри единичной окружности.

На рис. 4.23 изображены две возможные формы, которые может принимать диаграмма корней, а соответствующие полиномы-знаменатели разбиты на два класса - класс А (слева) и класс Б (справа). Для полиномов класса А по крайней мере одна из диаграмм корней пересекается с единичной окружностью. Для полинома класса Б ни одна из диаграмм корней не пересекается с единичной окружностью, эти диаграммы (которые должны быть

замкнутыми кривыми) либо полностью лежат внутри единичной окружности, либо вне ее. Ясно, что диаграммы корней класса А соответствуют неустойчивым системам. Чтобы система была устойчивой, она должна принадлежать к классу Б, и все диаграммы корней должны лежать внутри единичной окружности. Условие п. «а» теоремы Де Карло-Стринтциса требует, чтобы полином-знаменатель принадлежал к классу Б. Кроме того, условия пп. «б» и «в» требуют, чтобы диаграммы корней находились внутри соответствующих единичных окружностей на обеих диаграммах. Если диаграмма корней не пересекает единичную окружность, все ее точки находятся либо внутри единичной окружности, либо вне ее. Следовательно, необходимо исследовать только одну точку каждой диаграммы корней для определения того, находятся ли они внутри единичной окружности. Это можно сделать, например, исследуя корни двух одномерных полиномов  и .

Рис. 4.23. Диаграмма корней двух классов двумерных полиномов.

Пример 3

В качестве примера рассмотрим фильтр первого квадранта с передаточной функцией

.                                                (4.72)

В разд. 4.2 было показано, что импульсный отклик этого фильтра имеет вид

.              (4.73)

Для этого фильтра . Первое условие теоремы Де Карло-Стринтциса требует, чтобы

.                                                      (4.74)

Второе и третье условия требуют, чтобы -преобразования  и  не имели корней вне единичной окружности. Это дает

,                                                                             (4.75)

.                                                                             (4.76)

Несложные преобразования этих неравенств приводят к утверждению, что неравенства (4.75) и (4.76) являются частными случаями неравенства (4.74) и что последнее эквивалентно требованию, чтобы

.                                                                             (4.77)