4.3.3. Влияние полинома-числителя на устойчивость

В одномерном случае, если полином-числитель и полином-знаменатель передаточной функции не имеют общих множителей, устойчивость фильтра зависит только от расположения его полюсов. Однако в случае двумерных фильтров числитель может влиять на устойчивость фильтра. В качестве примера рассмотрим следующие три передаточные функции [20]:

,                                          (4.87)

,                                        (4.88)

.                                         (4.89)

Как было показано в предыдущем разделе, фильтр  нестабилен. Функции  и  имеют такой же полином-знаменатель, как и , тем не менее фильтр  стабилен, a  нет. При внимательном рассмотрении можно видеть, что единственной точкой на биокружности или внутри ее, в которой полиномы-знаменатели равны нулю, является точка . Полиномы-числители функций  и  также равны нулю в этой точке. Таким образом, как , так и  обладают несущественной особенностью второго рода на единичной биокружности. Эта ситуация графически изображена на рис. 4.24. Одно из изображений полюса и одно из изображений нуля на соответствующих диаграммах корней касаются в точке, находящейся на единичной биокружности. Интуитивно кажется, что устойчивость фильтра связана со степенью касания. В настоящее время не имеется общих и прямых средств для определения, является ли устойчивой передаточная функция, не имеющая полюсов вне единичной биокружности и имеющая несущественную особенность второго рода на единичной биокружности. Однако Гудмен [20] установил устойчивость фильтра (4.88) и неустойчивость фильтра (4.88). Теоремы об устойчивости, сформулированные в предыдущих разделах, являются просто достаточными условиями устойчивости для случаев нетривиального полинома в числителе. Они являются необходимыми условиями устойчивости только в случае отсутствия несущественных особенностей второго рода на единичной биокружности.

Рис. 4.24. Несущественная особенность второго рода на единичной биокружности.