4.3.4. Многомерные теоремы об устойчивости

Все теоремы об устойчивости предыдущего раздела можно обобщить на многомерный случай. Хотя формулировка этих теорем очевидна, их практическое использование далеко не очевидно. Объем вычислений и необходимость сохранения точности вычислений делают практическое использование теорем об устойчивости более высокого порядка серьезной проверкой искусства программиста. Как и в двумерном случае, следует рассмотреть многомерные аналоги тестов на устойчивость только для первого квадранта, поскольку любой -мерный фильтр с опорной областью в виде сектора можно отобразить на фильтр с опорной областью на -мерном аналоге первого квадранта.

Теорема (Джастис и Шэнкс [8]). Пусть является рекурсивным фильтром первого квадранта, т. е. везде, кроме , , …, . Этот фильтр устойчив тогда и только тогда, когда для любой точки , такой, что , или , или …, или .

Двумерная теорема об устойчивости Хуанга была обобщена на многомерный случай Андерсоном и Юри [21].

Теорема (Андерсон и Юри). Пусть является рекурсивным фильтром первого квадранта. Такой фильтр устойчив тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

при ,

при и

…

при и ,

при и .

-мерный вариант теста Де Карло-Стринтциса очень похож на двумерный. Он был открыт одновременно Де Карло и др. [12] и Стринтцисом [13].

Теорема (Де Карло-Стринтцис). Пусть является рекурсивным фильтром первого квадранта. Такой фильтр устойчив тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

а) для , , …, ,

б) для для каждого .

Эквивалентное утверждение состоит в том, что развернутая фазовая функция должна быть периодической и непрерывной.

Согласно этой теореме, тест на устойчивость состоит из одномерных тестов на устойчивость и исследования нулей на -мерной единичной поверхности .

Если функция имеет полином-числитель , взаимно простой с , то эти теоремы являются достаточными условиями устойчивости. Они являются необходимыми в том случае, если на -мерной единичной поверхности не имеется несущественных особенностей второго рода.