Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


4.3.4. Многомерные теоремы об устойчивости

Все теоремы об устойчивости предыдущего раздела можно обобщить на многомерный случай. Хотя формулировка этих теорем очевидна, их практическое использование далеко не очевидно. Объем вычислений и необходимость сохранения точности вычислений делают практическое использование теорем об устойчивости более высокого порядка серьезной проверкой искусства программиста. Как и в двумерном случае, следует рассмотреть многомерные аналоги тестов на устойчивость только для первого квадранта, поскольку любой -мерный фильтр с опорной областью в виде сектора можно отобразить на фильтр с опорной областью на -мерном аналоге первого квадранта.

Теорема (Джастис и Шэнкс [8]). Пусть  является рекурсивным фильтром первого квадранта, т. е.  везде, кроме , , …, . Этот фильтр устойчив тогда и только тогда, когда  для любой точки , такой, что , или , или …, или .

Двумерная теорема об устойчивости Хуанга была обобщена на многомерный случай Андерсоном и Юри [21].

Теорема (Андерсон и Юри). Пусть  является рекурсивным фильтром первого квадранта. Такой фильтр устойчив тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

 при ,

 при  и

 при  и ,

 при  и .

-мерный вариант теста Де Карло-Стринтциса очень похож на двумерный. Он был открыт одновременно Де Карло и др. [12] и Стринтцисом [13].

Теорема (Де Карло-Стринтцис). Пусть  является рекурсивным фильтром первого квадранта. Такой фильтр устойчив тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

а)       для , , …, ,

б)       для  для каждого .

Эквивалентное утверждение состоит в том, что развернутая фазовая функция  должна быть периодической и непрерывной.

Согласно этой теореме, тест на устойчивость состоит из  одномерных тестов на устойчивость и исследования нулей на -мерной единичной поверхности .

Если функция  имеет полином-числитель , взаимно простой с , то эти теоремы являются достаточными условиями устойчивости. Они являются необходимыми в том случае, если на -мерной единичной поверхности не имеется несущественных особенностей второго рода.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>