4.4. Двумерный комплексный кепстр

Рассмотрим теперь многомерный комплексный кепстр. Подобно своему одномерному аналогу [22], многомерный комплексный кепстр сигнала является последовательностью, полученной путем обратного -преобразования комплексного логарифма -преобразования сигнала. Термин «кепстр» был введен в работе [23] как обозначение того, что он является инверсией логарифмического спектра. Комплексный кепстр (или для краткости просто кепстр) потенциально полезен при многомерной фильтрации и для обращения линейных систем, но, что более важно, он дает аналитические средства, которые оказались полезными при анализе устойчивости и факторизуемости многомерных передаточных функций.

4.4.1. Определение комплексного кепстра

Пусть  - двумерная последовательность с -преобразованием , сходящимся в некоторой области сходимости . Тогда двумерный комплексный кепстр, обозначаемый через , определяется как обратное -преобразование , т.е.

.                   (4.90)

Заметим, что выражение  содержит комплексный логарифм, который является многозначной функцией вследствие того, что фаза комплексного числа определяется по модулю . Чтобы можно было вычислить обратное -преобразование, функция  должна быть аналитична в некоторой области. Для этого необходимо определить комплексную логарифмическую функцию таким образом, чтобы  был однозначным, непрерывным и дифференцируемым. Эту проблему мы рассмотрим в разд. 4.4.2.

Комплексный кепстр свертки двух сигналов является суммой комплексных кепстров двух сигналов. Например, пусть

.                     (4.91)

Тогда

,                                      (4.92)

поэтому

.                       (4.93)

Отсюда, используя обратное -преобразование, получим, что

.                                          (4.94)

Благодаря этому свойству комплексный кепстр полезен при изучении передаточных функций, являющихся произведением некоторых сомножителей. Например, если

, то                                (4.95)

.                  (4.96)

Для разделимой передаточной функции типа

                                                 (4.97)

можно показать, что комплексный кепстр имеет вид

.                              (4.98)